2006-陕西卷理-07 单-双曲线的离心率计算

本题导读

本题考查双曲线的渐近线几何特征及离心率的计算。核心在于准确理解两条渐近线“夹角”的定义（可能对应倾斜角的 $2\theta$ 或 $\pi -2\theta$），并结合给定约束条件完成严密的范围筛选。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$ ($a>\sqrt{2}$) 的两条渐近线的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，则双曲线的离心率为()

A. 2　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\frac{2\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

确定渐近线斜率特征：由双曲线方程可知 $b^2=2⟹b=\sqrt{2}$。焦点在 $x$ 轴上，渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{a}x$。设第一象限渐近线与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\theta$（$\theta \in (0,\frac{\pi }{2})$），则 $\tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{a}$。 分析夹角情况：两条渐近线关于 $x$ 轴、 $y$ 轴对称。它们之间的夹角为 $\frac{\pi }{3}$，存在两种可能：

• 第一种：以 $x$ 轴为角平分线， $2\theta =\frac{\pi }{3}⟹\theta =\frac{\pi }{6}$；
• 第二种：以 $y$ 轴为角平分线， $\pi -2\theta =\frac{\pi }{3}⟹2\theta =\frac{2\pi }{3}⟹\theta =\frac{\pi }{3}$。 结合约束排除并求离心率：利用已知条件 $a>\sqrt{2}$ 判定 $\tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{a}$ 的真实取值空间。求出符合要求的 $a^2$，再利用 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ 计算离心率。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：由双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$ 可得： $b^2=2⟹b=\sqrt{2}$ 该双曲线的焦点在 $x$ 轴上，其渐近线方程为： $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{\sqrt{2}}{a}x$ 设其中一条位于第一象限的渐近线与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\theta$ $\left(\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\right)$，则有： $\tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{a}$

因为已知条件给定 $a>\sqrt{2}$，两边同除以 $a$ 可得 $\frac{\sqrt{2}}{a}<1$，即： $\tan \theta <1⟹0<\theta <\frac{\pi }{4}$

由于两条渐近线 $y=\frac{\sqrt{2}}{a}x$ 与 $y=-\frac{\sqrt{2}}{a}x$ 关于 $x$ 轴严格对称，它们之间所夹的锐角（或钝角）为 $\frac{\pi }{3}$。 分两种几何构型讨论：

• 构型一：若夹角以 $x$ 轴为平分方向，则有： $2\theta =\frac{\pi }{3}⟹\theta =\frac{\pi }{6}$ 此时 $\theta =\frac{\pi }{6}\in \left(0,\frac{\pi }{4}\right)$，符合题意。
• 构型二：若夹角以 $y$ 轴为平分方向，则有： $\pi -2\theta =\frac{\pi }{3}⟹2\theta =\frac{2\pi }{3}⟹\theta =\frac{\pi }{3}$ 此时 $\theta =\frac{\pi }{3}>\frac{\pi }{4}$，这与前面导出的 $\theta <\frac{\pi }{4}$ 矛盾，故此构型不成立。

因此，确定夹角只能为 $\theta =\frac{\pi }{6}$。代入正切公式中： $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{a}⟹a=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{6}$ 由此得 $a^2=6$。

根据双曲线中参数平方和恒等式 $c^2=a^2+b^2$： $c^2=6+2=8⟹c=2\sqrt{2}$

根据双曲线离心率的定义式： $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：焦点在 $x$ 轴上时双曲线渐近线斜率公式 $\tan \theta =\frac{b}{a}$、渐近线多维夹角的判定、离心率第二变形公式 $e=\sqrt{1+(b/a{)}^2}$。
• 核心方法：斜率界值分类排除法。
• 避坑指南：
• 极易混淆两条直线的“夹角”概念。在平面几何中，两条直线的夹角如果没有特指，通常指它们相交构成的锐角或直角（即在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 内）。由于对称轴的存在，必须通过已知的大前提 $a>\sqrt{2}$ 锁死 $\theta$ 的范围，排除掉不合题意的假构型。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查双曲线渐近线核心几何特征的传统典型题。主要考查考生对直线倾斜角位置分布的严密分类控制。 结论推广: 对于任意焦点在 $x$ 轴上的双曲线， 其渐近线与 $x$ 轴正半轴夹角为 $\theta$，则离心率满足统一代数等式： $e=\frac{1}{\cos \theta }=\sec \theta$。本题中确定 $\theta =\frac{\pi }{6}$，则离心率 $e=\frac{1}{\cos (\pi /6)}=\frac{1}{\sqrt{3}/2}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。利用此三角推广公式可实现秒杀。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 16.06 到角公式与夹角公式

类题演练 (Links)

• 2007-浙江卷理-09 单-双曲线离心率
• 2008-陕西文-09 单-双曲线离心率
• 2008-福建文-12 单-双曲线离心率范围