2006-陕西卷理-06 单-充分条件与必要条件的判定

本题导读

本题考查等差数列的几何特征与三角恒等关系的逻辑关联。核心在于利用充分必要条件的定义，分别验证两个方向的推导是否能无损成立。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） “等式 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$ 成立”是“$\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差数例”的()

A. 必要而不充分条件　　　　　　　　　B. 充分而必要条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

从右向左推（充分性判定）：若 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差数列，根据等差中项性质可得 $\alpha +\gamma =2\beta$。两边同时取正弦必然有 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$ 成立。说明“右 $⟹$ 左”成立，即具备必要性。 从左向右推（充分性判定）：若 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$，根据正弦函数相等的解的特征，除了 $\alpha +\gamma =2\beta$ 外，还可能存在两角互补的情况，即 $\alpha +\gamma +2\beta =\pi +2k\pi$。由于解的不唯一性，无法绝对推出 $\alpha +\gamma =2\beta$。说明“左 $⟹$ 右”不成立，即不具备充分性。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：对已知两个命题方向的因果逻辑链进行逐一双向判定：

• 必要性检验（右 $⟹$ 左）： 若 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差数列，根据等差数列中项的核心性质，等距离两项之和等于中项的 2 倍： $\alpha +\gamma =2\beta$ 在等式两边同时套用相同的正弦函数运算，根据函数的单值映射特征，等式必然保持成立： $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$ 这表明：“$\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差数列”可以完全无损地推出“$\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$ 成立”。 也就是说，前式是后式的必要条件。

• 充分性检验（左 $⟹$ 右）： 若等式 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$ 成立。根据三角方程中正弦相等的解的通式分布，满足两个角的正弦值相等有两种独立的几何位置可能：

1. 两角完全共终边（即两角相差 $2k\pi$）： $\alpha +\gamma =2\beta +2k\pi (k\in \mathbf{Z})$
2. 两角关于 y 轴对称互补（即两角之和为 $\pi +2k\pi$）： $\alpha +\gamma =(\pi -2\beta )+2k\pi ⟹\alpha +2\beta +\gamma =\pi +2k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 显然，由于第二种互补分支的存在，等式成立时并不一定能推出 $\alpha +\gamma =2\beta$。 例如可构造反例：令 $\alpha =\frac{\pi }{2},\beta =\frac{\pi }{4},\gamma =0$。此时 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin \frac{\pi }{2}=1$， $\sin 2\beta =\sin \frac{\pi }{2}=1$，等式成立。但此时 $\alpha +\gamma =\frac{\pi }{2}=2\beta$，而数字排列 $\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4},0$ 是成等差数列的。 再换一组互补反例：令 $\alpha =\pi ,\beta =0,\gamma =0$。此时 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin \pi =0$， $\sin 2\beta =\sin 0=0$，等式成立。但此时 $\alpha +\gamma =\pi \ne 2\beta =0$，此时 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 分别为 $\pi ,0,0$， 显然不成等差数列。 因此，“$\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$ 成立”无法必然推出“$\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差数列”。 也就是说，前式是后式的不充分条件。

综上所述，“等式 $\sin (\alpha +\gamma )=\sin 2\beta$ 成立”是“$\alpha ,\beta ,\gamma$ 成等差数列”的必要而不充分条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差中项性质公式、三角方程 $\sin x=\sin y$ 的多解分布（相差 $2k\pi$ 或互补）、充要条件的逻辑箭头判定。
• 核心方法：充要条件箭头排查法、反例构造排除法。
• 避坑指南：
• 很多考生容易想当然地认为 $\sin x=\sin y⟹x=y$，从而错将充分性当成成立的，误选了 C。必须高度提防三角函数非一一映射的周期多值性。
• 牢记判定准则：A $⟹$ B，则 A 是 B 的充分条件；B $⟹$ A，则 A 是 B 的必要条件。本题中是“右边推左边”，故左边是右边的必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查常用逻辑用语与数列、三角函数跨章节多维度交汇的创新中档题。核心在于考查考生思维的完备性与对三角函数多值特征的敏感度。 结论推广: 方程 $\sin A=\sin B$ 成立的充要条件可以统一合并表述为集合型通项： $A=k\pi +(-1{)}^{k}B$ ($k\in \mathbf{Z}$)。当且仅当确定 $A,B$ 均为三角形内角等特定有限狭窄区间约束时，多值性才会被剥离。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-03 单-充要条件判定
• 2007-辽宁卷理-10 单-充要条件必要条件判定
• 2007-重庆文-05 单-充要条件等价判定