2006-陕西卷理-04 单-反函数的定义与对称性

本题导读

本题考查对数函数及其反函数的几何特征。核心在于利用“原函数与反函数图象关于直线 $y=x$ 对称”这一性质，将反函数上的已知点无损转化回原函数上，从而建立代数方程组求解。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 设函数 $f(x)={\log }_a(x+b)$ ($a>0,a\ne 1$) 的图象过点 $(2,1)$，其反函数的图象过点 $(2,8)$，则 $a+b$ 等于()

A. 6　　　　　　　B. 5　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

利用原函数特征点：由于 $f(x)$ 的图象过点 $(2,1)$，代入解析式得 ${\log }_a(2+b)=1⟹2+b=a$。 转换反函数特征点：根据反函数的定义，若其反函数的图象过点 $(2,8)$，则原函数 $f(x)$ 的图象必定经过点 $(8,2)$。 联立方程求解：将 $(8,2)$ 代入原函数解析式得 ${\log }_a(8+b)=2⟹8+b=a^2$。联立关于 $a,b$ 的方程组求解并计算 $a+b$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：因为函数 $f(x)={\log }_a(x+b)$ 的图象过点 $(2,1)$，代入函数解析式可得： ${\log }_a(2+b)=1⟹2+b=a^1⟹a-b=2\text{(1)}$

又因为 $f(x)$ 的反函数的图象经过点 $(2,8)$， 根据原函数与反函数的互逆映射关系（即若点 $(x_0,y_0)$ 在反函数图象上，则点 $(y_0,x_0)$ 必在原函数图象上）， 可知原函数 $f(x)$ 的图象必定经过点 $(8,2)$。

将点 $(8,2)$ 代入原函数解析式中： ${\log }_a(8+b)=2⟹8+b=a^2\text{(2)}$

将 ① 式中变形得到的 $b=a-2$ 代入 ② 式以消去未知数 $b$： $8+(a-2)=a^2⟹a^2-a-6=0$ 对一元二次方程进行因式分解： $(a-3)(a+2)=0$ 解得： $a=3\text{或}a=-2$ 根据对数函数底数的定义约束，底数 $a$ 必须满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$，故 $a=-2$ 舍去，只能取： $a=3$

将 $a=3$ 代回 ① 式中： $2+b=3⟹b=1$

计算目标代数式 $a+b$ 的值： $a+b=3+1=4$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：原函数与反函数点坐标对调特性（$f^{-1}(x_0)=y_0⟺f(y_0)=x_0$）、对数式与指数式的互化、对数底数的正数限制。
• 核心方法：坐标互逆代换法。
• 避坑指南：很多考生容易盲目先去求 $f(x)={\log }_a(x+b)$ 的反函数解析式 $f^{-1}(x)=a^x-b$，再代入 $(2,8)$ 建立方程 $a^2-b=8$。虽然结果相同，但直接利用坐标对调性质（反函数过 $(2,8)⟹$ 原函数过 $(8,2)$）转换效率更高且不容易在反解符号时出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查反函数基本概念最经典的常规选择题，重点考查对反函数对称性本质的灵活运用。 结论推广: 针对任何含有未知参数的初等函数模型，若已知反函数经过定点 $(p,q)$，其标准的降维打击手法恒为直接将点 $(q,p)$ 拍入原函数方程中进行联立消元。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-09 单-反函数图象对称性
• 2007-辽宁卷理-02 单-函数反函数图象对称性
• 2007-重庆文-10 单-反函数对称点求参