2006-陕西卷理-01 单-自然数集的定义与数域限制

本题导读

本题考查集合的交集运算。核心在于正确解出一元二次不等式得到集合 $Q$ 的实数区间，再结合集合 $P$ 限制在自然数集 $\mathbf{N}$ 内的条件提取出公共元素。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(理)） 已知集合 $P=\{x\in \mathbf{N}\mid 1\le x\le 10\}$，集合 $Q=\{x\in \mathbf{R}\mid x^2+x-6\le 0\}$，则 $P\cap Q$ 等于()

A. $\{2\}$　　　　　B. $\{1,2\}$　　　　　C. $\{2,3\}$　　　　　D. $\{1,2,3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

化简集合 $P$：由 $x\in \mathbf{N}$ 且 $1\le x\le 10$，用列举法写出 $P=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$。 化简集合 $Q$：对一元二次不等式 $x^2+x-6\le 0$ 对应二次三项式进行因式分解，解出实数区间 $Q=[-3,2]$。 求交集 $P\cap Q$：找出落在区间 $[-3,2]$ 内的属于集合 $P$ 的自然数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：首先用列举法化简集合 $P$。因为 $x\in \mathbf{N}$ 且 $1\le x\le 10$，所以： $P=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

接下来化简集合 $Q$。由一元二次不等式： $x^2+x-6\le 0$ 因式分解得： $(x+3)(x-2)\le 0$ 解得： $-3\le x\le 2$ 因为 $x\in \mathbf{R}$，所以 $Q=\{x\mid -3\le x\le 2\}$。

求 $P\cap Q$，即寻找既属于集合 $P$ 又在区间 $[-3,2]$ 内的自然数元素。 通过比对，只有 1 和 2 满足条件。 故： $P\cap Q=\{1,2\}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次不等式的因式分解与穿根法区间判定、有限集与无限区间的交集抽取。
• 核心方法：因式分解法、元素比对法。
• 避坑指南：
• 极易在解不等式时将 $(x+3)(x-2)\le 0$ 错解为 $-2\le x\le 3$，从而导致错选选项 C 或 D。
• 务必注意集合 $P$ 的元素属性限制 $x\in \mathbf{N}$，确保提取出的公共元素均为正整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查集合基本运算与不等式求解相融合的经典基础开篇题，侧重于考查运算的准确度与基本数域概念。 结论推广: 针对有限集合与连续实数区间的交集运算，通用的处理逻辑是直接将有限集内的各散点逐一平移代入区间的代数不等式中进行真伪判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅰ文-01 单-集合的交集运算
• 2007-天津文-01 单-集合交集运算
• 2007-广东卷理-01 单-集合交集运算