2006-陕西文-15 填-排列组合计数

本题导读

本题考查排列组合，以及计数。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 某校从 $8$ 名教师中选派 $4$ 名教师同时去 $4$ 个边远地区支教（每地 $1$ 人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有　　　　种.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 不考虑限制，从 8 人选出 4 人并分配到 4 个不同地区：$A_8^4=8\times 7\times 6\times 5=1680$。
2. 甲乙同去：另选 2 人从其余 6 人中选 $C_6^2$，4 人分配 $A_4^4$，共 $C_6^2{A}_4^4=15\times 24=360$。
3. 符合条件的方案 $=1680-360=1320$。

✅【答案】

Success

$1320$

✍【详细解析】

Abstract

先不考虑甲、乙不能同时去的限制，从 8 名教师中选出 4 人并分配到 4 个不同地区，共有 $A_8^4=8\times 7\times 6\times 5=1680\text{ 种}.$ 若甲、乙同时去，则另外 2 名教师从其余 6 人中选取，再把 4 人分配到 4 个地区，共有 $C_6^2{A}_4^4=15\times 24=360\text{ 种}.$ 因此符合条件的方案数为 $1680-360=1320$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合计数

核心方法：无限制 $A_8^4=1680$，甲乙同去 $C_6^2{A}_4^4=360$，相减得 $1320$

避坑指南：用补集：总方案减甲乙同去的方案；甲乙同去时另选 2 人从其余 6 人中选

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 排列组合的分配问题

结论推广: 先选后排，或补集法

方法推广: 用补集减去不合条件的方案数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2010-江西卷文-14 填-分组分配计数
• 2009-大纲Ⅱ文-10 单-选课组合计数
• 2023-新高考II卷-03 单-计数原理
• 2013-北京卷理-12 填-排列组合应用