2006-陕西文-11 单-平面外三点距面相等

本题导读

本题考查线面位置关系，以及点到平面距离。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 已知平面 $\alpha$ 外不共线的三点 $A,B,C$ 到 $\alpha$ 的距离都相等，则正确的结论是()

A. 平面 $ABC$ 必平行于 $\alpha$

B. 平面 $ABC$ 必与 $\alpha$ 相交

C. 平面 $ABC$ 必不垂直于 $\alpha$

D. 存在 $△ABC$ 的一条中位线平行于 $\alpha$ 或在 $\alpha$ 内

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设三点到平面 $\alpha$ 的距离为 $d$。
2. 若 $d=0$，三点都在 $\alpha$ 内，三角形中位线也在 $\alpha$ 内。
3. 若 $d>0$，以法向量确定有向距离，三点有向距离为 $\pm d$，由抽屉原理至少两点同侧。
4. 设 $A,B$ 同侧，则 $AB\parallel \alpha$，中位线（连接 $AC,BC$ 中点）平行于 $AB$，也平行于 $\alpha$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设三点到平面 $\alpha$ 的距离为 $d$． 若 $d=0$，则 $A,B,C$ 均在 $\alpha$ 内，三角形的中位线也在 $\alpha$ 内． 若 $d>0$，以 $\alpha$ 的一个法向量确定有向距离，则 $A,B,C$ 的有向距离只能分别为 $d$ 或 $-d$．由抽屉原理，三点中至少有两点在 $\alpha$ 的同一侧，不妨设 $A,B$ 在同一侧，则线段 $AB$ 平行于 $\alpha$．三角形 $ABC$ 中，连接 $AC,BC$ 的中点所得的中位线平行于 $AB$，因而也平行于 $\alpha$． 所以正确结论为 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面外三点距面相等

核心方法：三点到平面距离相等：三点同侧或分居两侧，至少两点同侧，连线平行平面，中位线平行该连线

避坑指南：结论是”存在一条中位线平行或含于平面”，不是”平面 ABC 必平行于 $\alpha$“（三点可跨平面）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 点到平面距离与空间位置关系

结论推广: 三点到平面距离相等时，存在中位线平行或含于平面

方法推广: 用抽屉原理分析三点分布，勿想当然得平行结论

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-陕西文-10 单-直二面角的线面角与射影
• 2009-重庆卷文-18 解-五面体距离二面角
• 2010-广东卷文-18 解-线面垂直点面距
• 2012-大纲卷文-08 单-点面距向量法