2006-陕西文-09 单-二次函数比较大小

本题导读

本题考查二次函数，以及比较大小。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^2+2ax+4$（$a>0$）．若 $x_1<x_2$，$x_1+x_2=0$，则()

A. $f(x_1)<f(x_2)$　　　　　　　B. $f(x_1)=f(x_2)$

C. $f(x_1)>f(x_2)$　　　　　　　D. $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小不能确定

🔍【思路分析】

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1. $x_1+x_2=0$，即 $x_2=-x_1$。
2. $f(x_1)-f(x_2)=a(x_1^2-x_2^2)+2a(x_1-x_2)=a(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)=2a(x_1-x_2)$。
3. $a>0$ 且 $x_1<x_2$，故 $f(x_1)-f(x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x_1+x_2=0$，所以 $f(x_1)-f(x_2)=a(x_1^2-x_2^2)+2a(x_1-x_2)=a(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)=2a(x_1-x_2).$ 又 $a>0$、$x_1<x_2$，故 $f(x_1)-f(x_2)<0$，即 $f(x_1)<f(x_2)$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数比较大小

核心方法：$x_1+x_2=0$，$f(x_1)-f(x_2)=a(x_1-x_2)(x_1+x_2+2)=2a(x_1-x_2)<0$，故 $f(x_1)<f(x_2)$

避坑指南：$a>0$ 且 $x_1<x_2$，差为负即 $f(x_1)<f(x_2)$，符号勿反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 二次函数图象的对称性

结论推广: $f(x_1)-f(x_2)=2a(x_1-x_2)$（$x_1+x_2=0$）

方法推广: 作差比较大小，利用 $x_1+x_2=0$ 化简

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-11 单-指数与二次函数图象
• 2011-湖北卷文-19 解-分段函数建模最值
• 2013-辽宁卷文-12 单-新定义函数最值
• 2015-上海卷文-21 解-函数建模