2006-重庆卷理-21 解-函数解析式的求解与检验

本题导读

本题核心考查复杂抽象函数方程的分析与求解。第一问通过合理选择特殊值进行“赋值法”代入，建立已知与未知函数值之间的递推与对应关系；第二问利用“唯一不动点”这一核心条件，巧妙将原函数方程中的抽象自变量转化为不动点本身，从而精确锁定函数的解析表达式并进行严格检验。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x$。

(1) 若 $f(2)=3$，求 $f(1)$；又若 $f(0)=a$，求 $f(a)$；

(2) 设有且仅有一个实数 $x_0$，使得 $f(x_0)=x_0$，求函数 $f(x)$ 的解析表达式。

🔍【思路分析】

破题导航

第一问逻辑：

• 给出函数方程： $f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x$。
• 已知 $f(2)=3$，为了求 $f(1)$，应设法在方程中构造出 $f(2)$ 的组合项。令 $x=2$ 代入原方程，将 $f(2)=3$ 代入化简，可直接解出 $f(1)$。
• 为了求 $f(a)$，已知 $f(0)=a$。令 $x=0$ 代入原方程，化简后即可直接得到 $f(a)$ 的值。 第二问逻辑：
• 条件“有且仅有一个实数 $x_0$，使得 $f(x_0)=x_0$”说明函数 $y=f(x)$ 存在唯一的不动点 $x_0$。
• 观察原方程的结构 $f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x$。这表明对于任意的 $x\in \mathbf{R}$，代数式 $f(x)-x^2+x$ 的整体输出值在经过 $f$ 映射后都等于它本身。
• 由不动点的唯一性可知，这个整体代数式的值在数值上必须恒等于这唯一的不动点 $x_0$。
• 建立恒等式： $f(x)-x^2+x=x_0⟹f(x)=x^2-x+x_0$。
• 利用 $f(x_0)=x_0$ 这一边界条件列出关于 $x_0$ 的方程，求出 $x_0$ 的具体值，最后务必将解析式代回原方程进行充分性检验。

✅【答案】

Success

所求函数的解析表达式为：$f(x)=x^2-x+1$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 赋值法求特殊值： 已知恒等式为： $f(f(x)-x^2+x)=f(x)-x^2+x(\ast )$

1. 求 $f(1)$： 在 $(\ast )$ 式中，令 $x=2$ 代入： $f(f(2)-2^2+2)=f(2)-2^2+2$ 将已知条件 $f(2)=3$ 代入上式中： $f(3-4+2)=3-4+2$ $f(1)=1$

2. 求 $f(a)$： 在 $(\ast )$ 式中，令 $x=0$ 代入： $f(f(0)-0^2+0)=f(0)-0^2+0$ 将已知条件 $f(0)=a$ 代入上式中： $f(a-0)=a-0⟹f(a)=a$

(2) 求解函数 $f(x)$ 的解析式： 根据题意，有且仅有一个实数 $x_0$ 满足 $f(x_0)=x_0$。

观察原方程 $(\ast )$ 具有如下特征形式： $f\left(\right[f(x)-x^2+x\left]\right)=[f(x)-x^2+x]$ 这说明对于定义域内的任意实数 $x$，整个代数式 $[f(x)-x^2+x]$ 的值都是函数 $f(x)$ 的不动点。

由于函数 $f(x)$ 的不动点有且仅有一个 $x_0$，因此对于任意的 $x\in \mathbf{R}$，该代数式必须恒等于该常数 $x_0$： $f(x)-x^2+x=x_0$ 移项可得函数解析式必须具备以下二次函数形态： $f(x)=x^2-x+x_0$

因为 $x_0$ 是不动点，将其代入上述解析式中满足 $f(x_0)=x_0$： $x_0^2-x_0+x_0=x_0$ $x_0^2-x_0=0⟹x_0(x_0-1)=0$ 解得常数 $x_0$ 的可能取值为： $x_0=0\text{或}{x}_0=1$

对求得的解析式进行必要性与充分性检验（双向验证）：

• 若 $x_0=0$： 此时函数解析式为 $f(x)=x^2-x$。 验证其不动点个数：令 $f(x)=x⟹x^2-x=x⟹x^2-2x=0$，解得 $x=0$ 或 $x=2$。 此时函数拥有两个不同的不动点，与题干“有且仅有一个实数 $x_0$”相矛盾，故舍去。

• 若 $x_0=1$： 此时函数解析式为 $f(x)=x^2-x+1$。

1. 验证其不动点个数：令 $f(x)=x⟹x^2-x+1=x⟹x^2-2x+1=0⟹(x-1{)}^2=0$，解得唯一解 $x=1$。满足不动点唯一样态。
2. 验证是否满足原函数方程 $(\ast )$： 左边 = $f(f(x)-x^2+x)=f((x^2-x+1)-x^2+x)=f(1)=1^2-1+1=1$。 右边 = $f(x)-x^2+x=(x^2-x+1)-x^2+x=1$。 左边 = 右边，完全恒等成立。

综上所述，所求函数的解析表达式为： $f(x)=x^2-x+1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抽象函数方程的特殊化赋值技巧、函数“不动点”的代数与几何意义、函数方程求解的充要性检验。
• 核心方法：整体代换与唯一样性夹逼法。
• 避坑指南：本题最容易失分的地方有两处：
• 一是在第二步忽略了“整体属于不动点”的逻辑转换。很多同学直接尝试设 $f(x)=a{x}^2+bx+c$ 代入展开，会由于多项式复合后次数爆炸至四次而根本无法计算。
• 二是在求出 $x_0=0$ 或 $x_0=1$ 后忘记进行回代检验。由于是不完全推导，得到的解只是必要条件，如果不做“唯一不动点”的筛查，就会错误地保留解析式 $f(x)=x^2-x$，导致最终解答功亏一篑。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题属于经典的近代数学现代数学风格函数方程题，源于竞赛题目的简化移植，重点考查逻辑严密性。 结论推广: 方程 $f(g(x))=g(x)$ 的核心构造是解析现代不动点理论（Fixed-point theory）的初等体现。如果一个函数的输出域被限制在自身不动点集内，则该函数的形态将受到极大的拓扑约束。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-14 填-递推数列与不动点