2006-重庆卷理-18 解-二项分布的数学期望

本题导读

本题核心考查概率论中离散型随机变量的分布列与数学期望。解题关键在于识别每位乘客下电梯的行为是相互独立的，从而将 5 位乘客在第 20 层下电梯的总人数 $\xi$ 抽象、建模为二项分布 $\xi \sim B(n,p)$ 展开计算。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层可以停靠。若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 $\frac{1}{3}$，用 $\xi$ 表示这 5 位乘客在第 20 层下电梯的人数，求：

(1) 随机变量 $\xi$ 的分布列；

(2) 随机变量 $\xi$ 的期望。

🔍【思路分析】

破题导航

判断变量的模型类型： 因为 5 位乘客下电梯的行为是相互独立的，对于任何一位乘客而言，在第 20 层下电梯的概率都是 $p=\frac{1}{3}$，不下电梯（在第 18 或 19 层下）的概率都是 $q=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。 因此， 5 位乘客下电梯的试验符合 5 次独立重复试验模型。 随机变量 $\xi$ 服从二项分布，即 $\xi \sim B\left(5,\frac{1}{3}\right)$。 写出分布列： 变量 $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3,4,5$。利用二项分布概率公式 $P(\xi =k)={\text{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 分别计算各个概率，列出表格。 计算数学期望： 可以直接利用离散型随机变量期望的普遍定义式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算，也可以直接采用二项分布特有的期望公式 $E(\xi )=np$ 极速求解。

✅【答案】

Success

$（1）P(\xi =k)=Ck5(\frac{1}{3})k$

✍【详细解析】

Abstract

解： 依题意，每位乘客在第 20 层下电梯的概率为 $p=\frac{1}{3}$，不在第 20 层下电梯的概率为 $1-p=\frac{2}{3}$。 因为 5 位乘客下电梯的行为是相互独立的，所以随机变量 $\xi$ 服从二项分布： $\xi \sim B\left(5,\frac{1}{3}\right)$

(1) 求随机变量 $\xi$ 的分布列： $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3,4,5$。 其对应的概率计算公式为： $P(\xi =k)={\text{C}}_5^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{\left(\frac{2}{3}\right)}^{5-k}(k=0,1,2,3,4,5)$

分别代入计算各取值的概率：

• 当 $k=0$ 时， $P(\xi =0)={\text{C}}_5^0{\left(\frac{1}{3}\right)}^0{\left(\frac{2}{3}\right)}^5=1\times 1\times \frac{32}{243}=\frac{32}{243}$
• 当 $k=1$ 时， $P(\xi =1)={\text{C}}_5^1{\left(\frac{1}{3}\right)}^1{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=5\times \frac{1}{3}\times \frac{16}{81}=\frac{80}{243}$
• 当 $k=2$ 时， $P(\xi =2)={\text{C}}_5^2{\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=10\times \frac{1}{9}\times \frac{8}{27}=\frac{80}{243}$
• 当 $k=3$ 时， $P(\xi =3)={\text{C}}_5^3{\left(\frac{1}{3}\right)}^3{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=10\times \frac{1}{27}\times \frac{4}{9}=\frac{40}{243}$
• 当 $k=4$ 时， $P(\xi =4)={\text{C}}_5^4{\left(\frac{1}{3}\right)}^4{\left(\frac{2}{3}\right)}^1=5\times \frac{1}{81}\times \frac{2}{3}=\frac{10}{243}$
• 当 $k=5$ 时， $P(\xi =5)={\text{C}}_5^5{\left(\frac{1}{3}\right)}^5{\left(\frac{2}{3}\right)}^0=1\times \frac{1}{243}\times 1=\frac{1}{243}$

由于分母均为 $243$，校验分子和： $32+80+80+40+10+1=243$，概率总和为 1，计算无误。

故随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2	3	4	5
$P$	$\frac{32}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{80}{243}$	$\frac{40}{243}$	$\frac{10}{243}$	$\frac{1}{243}$

(2) 求随机变量 $\xi$ 的期望：

方法一（公式法）： 因为随机变量 $\xi$ 服从二项分布 $\xi \sim B\left(5,\frac{1}{3}\right)$， 根据二项分布的数学期望公式 $E(\xi )=np$，可直接求得： $E(\xi )=5\times \frac{1}{3}=\frac{5}{3}$

方法二（定义法）： 根据数学期望的普遍定义式，将分布列的数据相乘后累加： $E(\xi )=0\times \frac{32}{243}+1\times \frac{80}{243}+2\times \frac{80}{243}+3\times \frac{40}{243}+4\times \frac{10}{243}+5\times \frac{1}{243}$ $E(\xi )=\frac{0+80+160+120+40+5}{243}=\frac{405}{243}$ 分子分母同时约去最大公约数 81，化简得： $E(\xi )=\frac{5}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项分布模型 $B(n,p)$ 的判断与性质、期望的公式化计算。
• 核心方法：独立重复试验（伯努利试验）概率模型构建。
• 避坑指南：
• 一是在解答题中写分布列时，必须画出标准的分布列表格形式，仅分步算完概率不画表格会被扣除格式分；
• 二是在求分布列时，习惯性对概率进行化简（如把 $\frac{80}{243}$ 强行化为小数等）是不必要的。保持相同分母（如统一保留分母为 243）不仅便于分子相加校验总和是否为 1，也有利于在第 (2) 问中使用定义法进行分子通分相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“随机变量及其分布”章节中关于独立重复试验与二项分布的标准课后习题变式。 结论推广: 若试验具有“非此即彼”且“各次独立”的特征，对于总计 $n$ 次试验，单次发生概率为 $p$ 的事件，其发生总次数的期望恒为 $E=np$，方差恒为 $D=np(1-p)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2007-湖南文-17 解-独立事件与二项分布
• 2008-四川卷理-18 解-二项分布
• 2009-广东卷理-17 解-二项分布