本题导读
本题核心考查线性规划中的逆向最值问题。解题的关键在于通过不等式组正确绘制平面可行域，理清目标函数 对应动直线的几何意义，并通过“仅在唯一顶点处取得最大值”这一边界约束，锁定动直线斜率的取值范围。
📌【题干】
Question
（2006年重庆卷(理)） 已知变量 满足约束条件 , 。若目标函数 （其中 ）仅在点 处取得最大值，则 的取值范围为.
🔍【思路分析】
破题导航
绘制可行域： 将约束条件拆解为四个一元二次直线边界：
- 这四条直线两两平行，在坐标系中围成一个封闭的矩形区域。 确定关键点坐标： 联立 与 ，解得交点恰好为 。 转换目标函数的几何物理意义： 将 变形为斜截式直线方程： 。
- 这是一组斜率恒为 、在 轴上的截距为 的平行动直线。
- 寻找 的最大值，等价于寻找该动直线向上平移时，与可行域有公共点的最高截距位置。 斜率边界控制分析： 题目要求仅在 处取得最大值，说明当直线经过 时，其截距必须严格大于经过邻近边界或相邻顶点的截距。 通过动态旋转直线，对比 处交会拓扑的两条边界线 （斜率为 ）与 （斜率为 ）的倾斜程度，列出关于 的不等式组求解。
✅【答案】
Success
（或 ）
✍【详细解析】
Abstract
约束条件围成的平面可行域是一个矩形区域。 我们来校验题目中给出的核心最值点 。 联立矩形的两条边界直线方程： 由此可知，点 正好是边界线 与 的交点（矩形的一个顶点）。
目标函数为 ，将其化为关于变量 的直线斜截式： 该直线的斜率恒为 。因为题目已知 ，所以该直线的斜率 （严格为负斜率，直线向右下方倾斜）。 要在可行域内求 的最大值，就是使该直线在 轴上的截距 达到最大。
要让直线 在向右上方平移时，有且仅有在顶点 处与矩形可行域最后接触（即取得唯一最大值），动直线的斜率 必须夹在相交于该顶点的两条边界直线的斜率之间。
- 边界线 的斜率为：
- 边界线 的斜率为：
由于动直线的斜率 ，为了保证直线在向上平移时不会与整条线段 重合（若重合，则最大值点会有无数个，不满足“仅在”的要求），动直线的倾斜程度必须比 更陡峭。 即动直线的斜率必须严格小于边界线 的斜率：
同时，由于 ，其自然小于边界线 的正斜率 ，因此右侧边界自然满足。
综上所述，为了保证最值点的唯一性与正确性，必须满足：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：线性规划的可行域绘制、目标函数的截距几何化转换。
- 核心方法：边界斜率比较法（不需要每次都费时画出绝对精准的图，利用顶点两侧邻边的斜率进行夹逼限制是最高效的手段）。
- 避坑指南：
- 陷阱一：含端点等号的混淆。题目强调了**“仅在”**二字，这意味着目标函数在最优处不能与边界线 重合。若重合（即 ），则整个线段上的点都能取得最大值。因此，最终答案区间必须是开区间，不能带等号，填成 将一分不得。
- 陷阱二：斜率正负号符号颠倒。由 导出的斜率是 。在解 时，两边同乘负号记得不等号改变方向，从而得到 。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题源于旧教材必修五“简单的线性规划”章节中关于目标函数系数含参的经典逆向思维拔高题。 结论推广: 对于最大值仅在两条边界线 与 () 的交点处取得的模型，若目标函数变形后的动直线斜率为 ，则在图形凸包的特定象限边缘，恒有 或类似的斜率夹逼定则。
🔗【关联脉络】
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