2006-重庆卷理-11 填-复数的代数形式及其四则运算

本题导读

本题核心考查复数的基本代数四则运算。解题关键在于先化简分母中虚数单位 $\text{i}$ 的高次幂，然后利用分母实数化（分子分母同乘分母的共轭复数）将复数化为标准代数形式 $a+bi$。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 复数 $\frac{1+2\text{i}}{3+{\text{i}}^3}$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

化简虚数单位的幂：根据 $\text{i}$ 的运算性质， ${\text{i}}^2=-1$，从而将分母中的 ${\text{i}}^3$ 转化为 $-\text{i}$。 分母实数化：分母变为 $3-\text{i}$，其共轭复数为 $3+\text{i}$。分子分母同乘 $3+\text{i}$。 展开化简：分子多项式展开，合并实部与虚部，得出最终标准结果。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{10}+\frac{7}{10}\text{i}$ （或 $\frac{1+7\text{i}}{10}$）

✍【详细解析】

Abstract

根据虚数单位 $\text{i}$ 的性质： ${\text{i}}^3={\text{i}}^2\cdot \text{i}=(-1)\cdot \text{i}=-\text{i}$ 将此代入原复数代数式中，得： $\frac{1+2\text{i}}{3+{\text{i}}^3}=\frac{1+2\text{i}}{3-\text{i}}$

分子分母同时乘以分母 $3-\text{i}$ 的共轭复数 $3+\text{i}$： $\frac{1+2\text{i}}{3-\text{i}}=\frac{(1+2\text{i})(3+\text{i})}{(3-\text{i})(3+\text{i})}$

计算分母部分： $(3-\text{i})(3+\text{i})=3^2-{\text{i}}^2=9-(-1)=10$

计算分子部分： $(1+2\text{i})(3+\text{i})=1\times 3+1\times \text{i}+2\text{i}\times 3+2\text{i}\times \text{i}$ $=3+\text{i}+6\text{i}+2{\text{i}}^2$ $=3+7\text{i}+2\times (-1)=3+7\text{i}-2=1+7\text{i}$

将分子分母合并： $\frac{1+7\text{i}}{10}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10}\text{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：虚数单位 $\text{i}$ 的周期性运算法则、复数除法的基本通则。
• 核心方法：共轭复数相乘法。
• 避坑指南：一是在化简 ${\text{i}}^3$ 时容易记错符号写成 $\text{i}$，必须牢记 $\text{i}$ 的四次幂循环特性；二是在分子展开式中， $2\text{i}\times \text{i}=2{\text{i}}^2=-2$，由于多项式展开项数较多，极易把负号看错或漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“复数”章节中关于复数代数运算的基础常规习题。 结论推广: 虚数单位 ${\text{i}}^n$ 的值具有周期为 4 的摆动性： ${\text{i}}^1=\text{i},{\text{i}}^2=-1,{\text{i}}^3=-\text{i},{\text{i}}^4=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2007-浙江卷理-11 填-共轭复数分母实数化
• 2007-重庆卷理-11 填-复数概念
• 2008-上海卷文-03 填-复数方程