2006-重庆卷理-09 单-函数图象的导数与凹凸性辨析

本题导读

本题核心考查利用几何模型构造函数解析式以及通过导数工具识别函数图象的形态（如凹凸性、特殊点处的切线斜率）。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 如图所示，单位圆中弧 $\widehat{AB}$ 的长为 $x$，$f(x)$ 表示弧 $\widehat{AB}$ 与弦 $AB$ 所围成的弓形面积的 2 倍，则函数 $y=f(x)$ 的图象是 ()

🔍【思路分析】

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建立几何量的解析关系： 因为是在单位圆中（半径 $R=1$），弧长为 $x$。根据弧长公式 $x=\alpha \cdot R$，可知该弧所对的圆心角 $\angle AOB=x$（单位为弧度），其中 $x\in [0,2\pi ]$。 构造弓形面积函数 $f(x)$：

• 弓形的面积 $S_{\text{弓}}=S_{\text{扇形OAB}}-S_{△OAB}$。
• 扇形面积公式 $S_{\text{扇}}=\frac{1}{2}{R}^{2}x=\frac{1}{2}x$。
• 三角形面积公式 $S_{△}=\frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot \sin x=\frac{1}{2}\sin x$。
• 从而得到 $f(x)=2\cdot S_{\text{弓}}=x-\sin x$。 利用导数分析图象形态：
• 对 $f(x)=x-\sin x$ 求导： $f^{\prime }(x)=1-\cos x$。
• 考察单调性：因为 $\cos x\le 1$，所以 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立，函数在 $[0,2\pi ]$ 上单调递增。
• 考察特殊位置的切线斜率（导数值）：
  • 当 $x=0,\pi ,2\pi$ 时， $\cos x$ 分别为 $1,-1,1$。
  • 对应的切线斜率 $f^{\prime }(0)=0$（图象在原点与 $x$ 轴相切）； $f^{\prime }(\pi )=2$（增长最快）； $f^{\prime }(2\pi )=0$（末端趋于水平）。 对比选项锁定答案。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

在单位圆 $O$ 中，半径 $R=1$。设弧 $\widehat{AB}$ 所对的圆心角为 $\theta$。 根据弧长公式，有 $\theta =\frac{x}{R}=x$。

根据平面几何知识，图中阴影部分的弓形面积 $S_{\text{弓}}$ 为扇形 $OAB$ 的面积减去 $△OAB$ 的面积： $S_{\text{扇形OAB}}=\frac{1}{2}\cdot R^2\cdot x=\frac{1}{2}x$ $S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot \sin x=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin x=\frac{1}{2}\sin x$

因此，弓形面积为： $S_{\text{弓}}=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sin x$ 题目定义 $f(x)$ 为弓形面积的 2 倍，故： $f(x)=2\cdot S_{\text{弓}}=x-\sin x(x\in [0,2\pi ])$

对函数 $f(x)=x-\sin x$ 进行求导： $f^{\prime }(x)=1-\cos x$

1. 判断基本趋势： 因为对于任意的 $x\in [0,2\pi ]$，恒有 $-1\le \cos x\le 1$， 所以 $f^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$ 恒成立。 这说明函数 $y=f(x)$ 在整个定义域内是严格单调递增的，排除了非单调或局部递减的可能。

2. 分析关键特征点处的切线斜率（导数的几何意义）：

• 在起点 $x=0$ 处： $f^{\prime }(0)=1-\cos 0=1-1=0$。这说明图象在原点处的切线是水平的（与 $x$ 轴相切），即刚开始增长时极其缓慢，图象向右下凹。由此排除 B（B项在原点处的切线斜率明显大于0）。

• 在中点 $x=\pi$ 处： $f^{\prime }(\pi )=1-\cos \pi =1-(-1)=2$。此时导数达到最大值，说明图象在 $x=\pi$ 处的坡度最陡。且 $f(\pi )=\pi -\sin \pi =\pi$，图象通过点 $(\pi ,\pi )$。

• 在终点 $x=2\pi$ 处： $f^{\prime }(2\pi )=1-\cos 2\pi =1-1=0$。这说明图象在终点处的切线再次变为水平。

3. 结合图象形态：

• 在 $x\in (0,\pi )$ 时， $\cos x$ 逐渐减小， $f^{\prime }(x)=1-\cos x$ 逐渐增大，切线越来越陡，图象呈现**下凹（凹函数）**形态。
• 在 $x\in (\pi ,2\pi )$ 时， $\cos x$ 逐渐增大， $f^{\prime }(x)=1-\cos x$ 逐渐减小，切线越来越缓，图象呈现**上凸（凸函数）**形态。

符合“先下凹、后上凸”，且在两端点切线水平、中点最陡的完整几何特征图象只有 D。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：几何图形面积函数化表达、一阶导数符号决定单调性、一阶导数的大小变化（或二阶导数）决定图象的凹凸性。
• 核心方法：微积分视角下的函数图象辨析法。
• 避坑指南：
• 易错点一：很多学生容易凭直觉建立定性思维，认为弧长增加，面积随之匀速增加，从而误选 A 的直线。
• 易错点二：无法准确区分 C 和 D 的凹凸性。可以通过特殊位置的切线状态来辨别： $x$ 从 0 开始稍微增加一点时，由于弦 $AB$ 的长度与弧长极其接近，弓形面积增长应该极其微小。因此在原点附近的曲线应该非常平缓贴近 $x$ 轴（即斜率为 0），这就锁定了先下凹的 D 选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于经典微积分与平面几何的交汇题目，旨在考查近代数学工具（导数）在分析传统初等函数图象形态时的威力。 结论推广: 函数 $y=x-\sin x$ 对应的图形在数学上与“正弦曲线的积分形态”以及“旋轮线（摆线）”的垂直高度演变密切相关。在物理学中，它常作为某些非线性波动或渐进控制过程的数学模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.01 弧度制与扇形度量
• 20.15 函数凹凸性定义

类题演练 (Links)

• 2007-江西卷理-05 单-函数图象凹凸性切线割线比较
• 2007-安徽卷理-01 单-函数图象对称性