2006-重庆卷理-08 单-分组分配问题

本题导读

本题核心考查组合数学中的分组分配问题。题目要求将 5 个不同元素分配到 3 个不同位置，且每个位置有明确的人数范围约束。解决此类问题的标准逻辑是：先分析并确定每个班级分配的“人数结构”，再进行“先分组、后分配”的经典分步计算。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则不同的分配方案有 ()

A. 30 种　　　　B. 90 种　　　　C. 180 种　　　　D. 270 种

🔍【思路分析】

破题导航

分析人数结构： 设有 3 个班级，共 5 名教师。每班至少 1 名，最多 2 名。 设三个班分得的人数分别为 $x,y,z$，则满足 $x+y+z=5$，且 $1\le x,y,z\le 2$。 容易得出，满足此数集约束的唯一人数组合只能是：2人、2人、1人。 从 5 人中选 2 人组成一组，再从剩下 3 人中选 2 人组成一组，剩下 1 人自动成组。注意由于有两个组的人数均是 2 人（属于相同数字的分组），为了消除元素的无序性，必须除以均匀分组的排列数 ${\text{A}}_2^2$。 将这 3 个不同的教师组分给 3 个不同的班级，相当于进行全排列 ${\text{A}}_3^3$。 计算总数：根据分步乘法计数原理，将两步的种数相乘即可。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设分配到三个班级的人数分别为 $x,y,z$。 依题意： $x+y+z=5$，且 $x,y,z\in \{1,2\}$。 由于 $1+2+2=5$，所以这 3 个班级分得的实习教师人数结构只能是 2人、2人、1人。

1. 将 5 名教师分成人数分别为 2人、2人、1人的三个组： 先从 5 人中任意选出 2 人，共有 ${\text{C}}_5^2$ 种选法； 再从剩下的 3 人中选出 2 人，共有 ${\text{C}}_3^2$ 种选法； 最后剩下的 1 人自动成为一组，有 ${\text{C}}_1^1$ 种选法。 由于这里包含了两个人数相同（都是 2 人）的非定名组，直接相乘会使这两个 2 人组产生重复排序，所以需要除以 ${\text{A}}_2^2$（即 2）进行去顺序处理。 因此，分组的种数为： $\text{分组数}=\frac{{\text{C}}_5^2\cdot {\text{C}}_3^2\cdot {\text{C}}_1^1}{{\text{A}}_2^2}=\frac{10\times 3\times 1}{2}=15\text{ 种}$

2. 将分好的三个组分配到 3 个不同的班级中去： 这属于 3 个不同元素在 3 个不同位置的全排列，共有： $\text{分配数}={\text{A}}_3^3=3\times 2\times 1=6\text{ 种}$

根据分步乘法计数原理，不同的分配方案总数为： $\text{总方案数}=15\times 6=90\text{ 种}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：不均匀/均匀分组模型、分步乘法原理的组合应用。
• 核心方法：“先分组、后分配”法。
• 避坑指南：本题最致命的陷阱在于均匀分组忘掉去顺序。很多同学在第一步分组时直接计算 ${\text{C}}_5^2\cdot {\text{C}}_3^2\cdot {\text{C}}_1^1=30$，接着乘以排列数 ${\text{A}}_3^3=6$，得出 $30\times 6=180$，从而误选 C。务必切记：若分出的组中，有 $m$ 个组的人数是完全相同的，在分配给具体对象前，必须除以 ${\text{A}}_m^m$ 以消除重复计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“排列与组合”章节中关于“分组分配”的经典高频变式大综合题。 结论推广: 将 $n$ 个不同元素分成 $k$ 个组，若各组人数分别为 $n_1,n_2,\dots ,n_k$，且其中有 $m$ 个组的人数大小完全一致，则单纯分组的组合方法数公式为： $\frac{{\text{C}}_n^{n_1}\cdot {\text{C}}_{n-n_1}^{n_2}\cdots {\text{C}}_{n_k}^{n_k}}{{\text{A}}_m^m}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.04 分配问题

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅱ文-09 单-分组分配计数
• 2012-新课标Ⅰ(理)-02 单-分组分配问题