2006-重庆卷理-05 单-二项式展开式的通项公式

本题导读

本题核心考查二项式定理的综合应用。首先需要利用“赋值法”（令自变量等于 1）求出二项式的指数 $n$，随后写出通项公式 $T_{r+1}$，通过令自变量的指数为 0 锁定常数项并进行求解。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 若 ${\left(3\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^n$ 的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为 ()

A. $-540$　　　　　　B. $-162$　　　　　　C. $162$　　　　　　D. $540$

🔍【思路分析】

破题导航

求出 $n$ 的值：利用二项式系数和的特性，令 $x=1$ 代入原二项式，其结果即为各项系数之和。通过方程 $2^n=64$ 解得 $n$。 写出通项通式：将 $n$ 代入，写出展开式的通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。 确定常数项：将含 $x$ 的指数幂部分合并，令其总指数等于 0，解出 $r$，进而求得常数项的代数数值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=1$，代入二项式 ${\left(3\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^n$ 中，所得的值即为展开式中各项系数之和： ${\left(3\sqrt{1}-\frac{1}{\sqrt{1}}\right)}^n=64$ $(3-1{)}^n=64⟹2^n=64$ 因为 $2^6=64$，所以解得： $n=6$

将 $n=6$ 代入，该二项展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot (3\sqrt{x}{)}^{6-r}\cdot {\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r$ 将根式统一转化为分数指数幂的形式，并分离常数与变量： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot 3^{6-r}\cdot {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot {\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r$ $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot 3^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{\frac{6-r}{2}}\cdot x^{-\frac{r}{2}}$ 合并底数相同的变量 $x$ 的指数部分： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r\cdot 3^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{\frac{6-r}{2}-\frac{r}{2}}={\text{C}}_6^r\cdot 3^{6-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{3-r}$

要求展开式中的常数项，即寻找自变量 $x$ 的指数为 0 的项： $3-r=0⟹r=3$ 将 $r=3$ 代入通项公式中计算常数项数值： $\text{常数项}=T_4={\text{C}}_6^3\cdot 3^{6-3}\cdot (-1{)}^3$ $\text{常数项}=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}\times 3^3\times (-1)$ $\text{常数项}=20\times 27\times (-1)=-540$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开各项系数和的“赋值思想”、通项公式的合并化简。
• 核心方法：指数幂乘除运算法则。
• 避坑指南：一是在第一步切忌采用复杂的公式展开去求各项系数和，牢记“求所有系数和直接令自变量为 1”的结论；二是在第三步代入计算时，千万不要漏掉第二项自带的负号 $(-1{)}^r$，由于 $r=3$ 是奇数，负号得以保留，粗心漏掉负号会导致错算成 $540$ 而误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“二项式定理”章节中关于赋值法与通项结合的经典常规题。 结论推广: 对于任何形如 $(A{x}^{\alpha }+B{x}^{\beta }{)}^n$ 的二项式，其各项系数之和均可通过令 $x=1$ 得到，即为 $(A+B{)}^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2007-大纲卷I理-10 单-二项展开式通项公式常数项
• 2007-江西文-05 单-二项式系数和的赋值法
• 2007-浙江文-06 单-二项式常数项