2006-重庆卷理-04 单-异面垂直与线面垂直的性质

本题导读

本题核心考查立体几何中点、线、面的位置关系及其基本性质。解题的关键在于对直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的相对位置进行分类讨论，并结合空间异面直线的概念对各选项进行严格审查和排除。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 对于任意的直线 $l$ 与平面 $\alpha$，在平面 $\alpha$ 内必有直线 $m$，使 $m$ 与 $l$ ()

A. 平行　　　　B. 相交　　　　C. 垂直　　　　D. 互为异面直线

🔍【思路分析】

破题导航

因为直线 $l$ 是“任意的”，我们需要对直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的三种空间位置关系进行分类讨论： $l\perp \alpha$（垂直）：此时直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的所有直线。 $l\parallel \alpha$（平行）：此时直线 $l$ 可以在平面内找到平行的直线，也可以找到异面、垂直的直线，但绝不能与面内直线相交。 $l$ 与 $\alpha$ 相交但不垂直（斜交） 或 $l\subset \alpha$（在面内）。

结合上述分类，寻找在所有情况下都必然存在的线线关系。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

对直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系进行分类穷举检验：

• 检验选项 A（平行）： 若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交（例如 $l\perp \alpha$），则直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的所有直线要么相交，要么异面，绝对不可能在平面 $\alpha$ 内找到一条直线 $m$ 与 $l$ 平行。故 A 错误。

• 检验选项 B（相交）： 若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行（$l\parallel \alpha$），根据线面平行的定义，直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 没有公共点，因此在平面 $\alpha$ 内绝对找不到能与 $l$ 相交的直线 $m$。故 B 错误。

• 检验选项 D（互为异面直线）： 若直线 $l$ 就在平面 $\alpha$ 内（$l\subset \alpha$），则平面 $\alpha$ 内的任意直线 $m$ 与 $l$ 都在同一个平面内，它们的位置关系只能是相交或平行，绝不可能是异面直线。故 D 错误。

• 检验选项 C（垂直）：

• 情况一：若 $l\perp \alpha$，根据线面垂直的定义， $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的所有直线，必然存在满足 $m\perp l$ 的直线 $m$。
• 情况二：若 $l$ 不垂直于 $\alpha$（包含平行、斜交、在面内），我们可以将直线 $l$ 正投影到平面 $\alpha$ 上得到一条投影线 $l^{\prime }$。在平面 $\alpha$ 内，我们只需要作一条直线 $m$ 垂直于这条投影线 $l^{\prime }$，根据空间三垂线定理（或线面垂直的逆性质），这条直线 $m$ 也必然与原空间直线 $l$ 垂直。

综上所述，无论 $l$ 与 $\alpha$ 处于何种位置关系，在平面 $\alpha$ 内必有直线 $m$ 与 $l$ 垂直。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线面垂直的定义、空间任意两直线垂直的定义（包含共面垂直与异面垂直）。
• 核心方法：反例排除法（分别通过特殊的线面关系排除不符合“任意性”的选项）。
• 避坑指南：极易在选项 C 上产生思维误区，认为“只有当 $l\perp \alpha$ 时才垂直”。务必温习空间两直线垂直的本质——只要两条异面直线所成的角是 $90^{\circ }$，它们就属于垂直关系，无须它们在空间中交汇。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“立体几何初步”中关于空间直线与平面基本位置关系辨析的经典高频考题。 结论推广: 空间中任意一条直线 $l$ 与一个平面 $\alpha$，在平面 $\alpha$ 内总存在无数条直线 $m$ 满足 $m\perp l$，这无数条直线 $m$ 构成一个平行直线族。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-03 单-异面直线性质
• 2007-湖南文-06 单-正四棱柱垂直与异面
• 2009-大纲Ⅱ文-05 单-正四棱柱异面直线