2006-重庆卷理-03 单-点到直线的距离公式

本题导读

本题核心考查解析几何中直线与圆的位置关系。解题的关键在于通过配方法将圆的一般方程转化为标准方程，并利用“圆心到切线的距离等于圆半径”这一几何几何特征列出方程，从而求解出切线的斜率。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(理)） 过坐标原点且与圆 $x^2+y^2-4x+2y+\frac{5}{2}=0$ 相切的直线的方程为 ()

A. $y=-3x$ 或 $y=\frac{1}{3}x$　　B. $y=3x$ 或 $y=-\frac{1}{3}x$　　C. $y=-3x$ 或 $y=-\frac{1}{3}x$　　D. $y=3x$ 或 $y=\frac{1}{3}x$

🔍【思路分析】

破题导航

圆的方程标准化：对圆的一般方程 $x^2+y^2-4x+2y+\frac{5}{2}=0$ 进行配方，求出圆心坐标和半径 $R$。 设出切线方程：因为直线过原点 $(0,0)$，若斜率存在可设为 $y=kx$，即 $kx-y=0$。（注意：需验证斜率不存在的直线 $x=0$ 是否为切线）。 利用几何法相切条件求解：利用点到直线的距离公式，令圆心到直线的距离 $d=R$，解出斜率 $k$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

将已知圆的方程进行配方： $(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)-4-1+\frac{5}{2}=0$ $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=\frac{5}{2}$ 由此可知，该圆的圆心坐标为 $M(2,-1)$，半径 $R=\sqrt{\frac{5}{2}}$。

因为切线经过坐标原点 $(0,0)$， 当直线的斜率不存在时，方程为 $x=0$。此时圆心 $(2,-1)$ 到直线 $x=0$ 的距离为 $d=2\ne \sqrt{\frac{5}{2}}$，故 $x=0$ 不满足相切条件。 因此，可设切线方程的斜率存在，其点斜式方程为 $y=kx$，即： $kx-y=0$

依据直线与圆相切的几何条件，圆心 $M(2,-1)$ 到直线 $kx-y=0$ 的距离 $d$ 必须等于半径 $R$： $d=\frac{|2k-(-1)|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$ $\frac{|2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$ 两边同时平方以去掉绝对值与根号： $\frac{(2k+1{)}^2}{k^2+1}=\frac{5}{2}$ $2(4k^2+4k+1)=5(k^2+1)$ $8k^2+8k+2=5k^2+5$ $3k^2+8k-3=0$ 运用十字相乘法对一元二次方程进行因式分解： $(3k-1)(k+3)=0$ 解得斜率为： $k_1=\frac{1}{3},k_2=-3$ 代回原假设，切线方程为 $y=\frac{1}{3}x$ 或 $y=-3x$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆的配方运算、直线与圆相切的判别式与几何法转化。
• 核心方法：几何法（距离等于半径 $d=R$）效率远高于代数法（联立方程令 $\Delta =0$）。
• 避坑指南：设直线方程为 $y=kx$ 前，在填空题或大题中必须口算验证斜率不存在的直线 $x=0$。虽然本题中 $x=0$ 不是切线且为选择题，但养成严谨分类讨论的习惯可以避免在非选择题中因漏掉垂直切线而失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第一册“直线与圆的位置关系”章节中的经典常规核心题型。 结论推广: 过圆外一点引圆的切线必然存在两条。若已知点在圆外，解出来的 $k$ 却只有一个，则另一条切线必然为斜率不存在的垂直轴直线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-07 单-切线平行定参
• 2009-江西卷文-12 单-公切线与切线方程