2006-重庆文-16 填-线性规划仅一点最值

本题导读

本题考查线性规划，以及含参目标函数。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 已知变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y-3⩽0,\\ x+3y-3⩾0,\\ y-1⩽0,\end{array}$ 且若目标函数 $z=ax+y$（其中 $a>0$）仅在点 $(3,0)$ 处取得最大值，则 $a$ 的取值范围为　　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画可行域：边界 $x+2y-3=0$、$x+3y-3=0$、$y=1$，交点为 $(1,1),(3,0),(0,1)$，可行域为这三线围成的三角形（含 $(0,3)$ 方向被 $y⩽1$ 截断）。
2. 目标 $z=ax+y$ 的等值线斜率为 $-a$（$a>0$，负斜率）。
3. 仅在 $(3,0)$ 取最大 ⟺ 等值线方向严格落在边界 $x+2y-3=0$（斜率 $-\frac{1}{2}$）与 $x+3y-3=0$（斜率 $-\frac{1}{3}$）之间，且 $(3,0)$ 为唯一最优。
4. $(3,0)$ 是 $x+2y-3=0$ 与 $y=0$（$x$ 轴）的交点，边界 $x+2y-3=0$ 斜率为 $-\frac{1}{2}$。 要”仅”在 $(3,0)$ 取最大，须 $-a<-\frac{1}{2}$，即 $a>\frac{1}{2}$（取等则沿该边多个点同最优）。

✅【答案】

Success

$a>\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

画出可行域（由 $x+2y-3⩽0$、$x+3y-3⩾0$、$y-1⩽0$ 围成的三角形，顶点 $(1,1)$、$(3,0)$、$(0,1)$）． 目标函数 $z=ax+y$ 的等值线 $y=-ax+z$ 斜率为 $-a$（$a>0$）． 点 $(3,0)$ 是边界 $x+2y-3=0$ 与 $x$ 轴的交点，该边界斜率为 $-\frac{1}{2}$． 要使 $z$ 仅在 $(3,0)$ 处取得最大值，等值线必须比该边界”更陡”（即等值线斜率 $-a$ 严格小于边界斜率 $-\frac{1}{2}$），且不与其他边界平行： $-a<-\frac{1}{2}⟺a>\frac{1}{2}.$ （若 $a=\frac{1}{2}$，则 $z=\frac{1}{2}x+y$ 的等值线与边界 $x+2y-3=0$ 平行，整条边上的点都取得最大值，不满足”仅在一点”．） 故 $a$ 的取值范围为 $a>\frac{1}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划仅一点最值

核心方法：可行域顶点 $(0,1),(3,0),(0,3)$ 等；$z=ax+y$ 仅在 $(3,0)$ 取最大 ⟺ 边界 $x+2y-3=0$ 斜率 $-\frac{1}{2}$ 大于 $-a$，即 $-a<-\frac{1}{2}$，$a>\frac{1}{2}$

避坑指南：“仅”在 $(3,0)$ 取最大，要求目标函数方向严格落在两边界之间；$a>\frac{1}{2}$（取等则沿边多解）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线性规划仅在一点取得最值

结论推广: 目标函数斜率与边界斜率比较，取严格不等

方法推广: “仅”在一点取最值要求方向函数不平行于边界

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-02 单-线性规划最大值
• 2008-广东文-12 填-线性规划最大值
• 2008-北京文-06 单-线性规划最小值
• 2008-大纲Ⅱ文-06 单-线性规划最小值