2006-重庆文-09 单-不相邻排列插空

本题导读

本题考查排列组合，以及不相邻问题。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 高三（一）班需要安排毕业晚会的 $4$ 个音乐节目，$2$ 个舞蹈节目和 $1$ 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()

A. $1800$　　　　　B. $3600$　　　　　C. $4320$　　　　　D. $5040$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两个舞蹈节目不相邻，用插空法。
2. 先排 $4$ 个音乐节目和 $1$ 个曲艺节目，共 $5$ 个节目，有 $5!=120$ 种排法。
3. $5$ 个节目形成 $6$ 个空位（含两端），选 $2$ 个空放 $2$ 个舞蹈节目并排列：$A_6^2=30$。
4. 共 $120\times 30=3600$ 种。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

先把不受”不相邻”限制的 $4$ 个音乐节目与 $1$ 个曲艺节目（共 $5$ 个）全排列，有 $5!=120$ 种； 这 $5$ 个节目之间及两端形成 $6$ 个空位，从其中任选 $2$ 个空位放入 $2$ 个舞蹈节目并全排列，有 $A_6^2=6\times 5=30$ 种． 由分步计数原理，共有 $120\times 30=3600$ 种，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不相邻排列插空

核心方法：先排 4 音乐 + 1 曲艺 = 5 个（$5!$），形成 6 空位，2 舞蹈插入 $A_6^2$，共 $5!\cdot A_6^2=120\times 30=3600$

避坑指南：不相邻用插空法；先排不受限的 5 个节目，再在 6 个空中选 2 个放舞蹈

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 不相邻排列，插空法

结论推广: 先排不受限元素，空位插入受限元素

方法推广: 空位数 $⩾$ 受限元素数才可行

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-16 填-卡片排列计数
• 2008-浙江文-17 填-奇偶相邻排列
• 2008-安徽文-12 单-排队插入调整
• 2008-湖北文-09 单-至少一名女生组队