2006-重庆文-06 单-反函数图象定点

本题导读

本题考查反函数，以及函数图象。

📌【题干】

Question

（2006年重庆卷(文)） 设函数 $y=f(x)$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$，且 $y=f(2x-1)$ 的图象过点 $\left(\frac{1}{2},1\right)$，则 $y=f^{-1}(x)$ 的图象必过点()

A. $\left(\frac{1}{2},1\right)$　　　　B. $\left(1,\frac{1}{2}\right)$　　　　C. $(1,0)$　　　　D. $(0,1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=f(2x-1)$ 过 $\left(\frac{1}{2},1\right)$：当 $x=\frac{1}{2}$ 时 $2x-1=0$，故 $f(0)=1$。
2. 由反函数定义，$f(0)=1⟺f^{-1}(1)=0$。
3. 即 $y=f^{-1}(x)$ 过点 $(1,0)$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$y=f(2x-1)$ 的图象过 $\left(\frac{1}{2},1\right)$，即 $f\left(2\cdot \frac{1}{2}-1\right)=f(0)=1$． 由反函数定义 $f^{-1}(1)=0$，故 $y=f^{-1}(x)$ 的图象必过点 $(1,0)$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数图象定点

核心方法：$f(2x-1)$ 过 $\left(\frac{1}{2},1\right)$ 即 $f(0)=1$，故 $f^{-1}(1)=0$，反函数图象过 $(1,0)$

避坑指南：$f(2x-1)$ 在 $x=\frac{1}{2}$ 处 $2x-1=0$；$f(a)=b⟺f^{-1}(b)=a$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 反函数图象与定点，反函数定义

结论推广: $f(2x-1)$ 过 $(\frac{1}{2},1)\Rightarrow f(0)=1\Rightarrow f^{-1}(1)=0$

方法推广: 复合函数与反函数的点坐标互换关系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-08 单-反函数
• 2008-北京文-05 单-受限反函数
• 2008-天津文-03 单-根式函数反函数
• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式