2006-辽宁卷理-19 解-一元二次不等式的求解

本题导读

本题考查概率统计中离散型随机变量分布列与数学期望的综合应用。第一问需要结合表格列出分布，其中乙项目涉及两次独立调整，属于典型的二项分布模型；第二问通过期望的大小关系建立关于参数 $p$ 的一元二次不等式进行求解。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是 1.2 万元、1.18 万元、1.17 万元的概率分别为 $\frac{1}{6}$、 $\frac{1}{2}$、 $\frac{1}{3}$；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是 $p$ ($0<p<1$)，设乙项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整，记乙项目产品价格在一年度内的下降次数为 $\xi$，对乙项目每投资十万元，$\xi$ 取 0、1、2 时，一年后相应利润是 1.3 万元、1.25 万元、0.2 万元. 随机变量 ${\xi }_1$、 ${\xi }_2$ 分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.

(1) 求 ${\xi }_1$、 ${\xi }_2$ 的概率分布和数学期望 $E{\xi }_1$、 $E{\xi }_2$；

(2) 当 $E{\xi }_1<E{\xi }_2$ 时，求 $p$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问：

• 随机变量 ${\xi }_1$ 的可能取值为 1.2, 1.18, 1.17，其对应的概率题目已直接给出，据此可直接写出 ${\xi }_1$ 的分布列并求出数学期望 $E{\xi }_1$。
• 随机变量 ${\xi }_2$ 的可能取值为 1.3, 1.25, 0.2。价格下降的次数 $\xi \sim B(2,p)$，利用独立重复试验（二项分布）公式 $P(\xi =k)=C_2^k{p}^k(1-p{)}^{2-k}$ 分别算出 $\xi =0,1,2$ 对应的概率，列出分布列并计算期望 $E{\xi }_2$。 第二问：将第一问求得的 $E{\xi }_1$ 确切数值与包含 $p$ 的 $E{\xi }_2$ 代数式代入不等式 $E{\xi }_1<E{\xi }_2$，化简为关于 $p$ 的标准一元二次不等式，求解并结合 $0<p<1$ 的边界约束求交集。

✅【答案】

Success

（1）随机变量ξ1的分布为P(ξ1=1.2)=\dfrac{1}{6}，P(ξ1=1.18)=12，P(ξ1=1.17)=1

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 由题意可知，随机变量 ${\xi }_1$ 的可能取值为 1.2，1.18，1.17。 其概率分布列为：

${\xi }_1$	1.2	1.18	1.17
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

数学期望 $E{\xi }_1$ 为： $E{\xi }_1=1.2\times \frac{1}{6}+1.18\times \frac{1}{2}+1.17\times \frac{1}{3}=0.2+0.59+0.39=1.18\text{（万元）}$

随机变量 ${\xi }_2$ 的可能取值为 1.3，1.25，0.2。 由题意，一年内价格下降的次数 $\xi \sim B(2,p)$，各取值对应的概率为： $P({\xi }_2=1.3)=P(\xi =0)=C_2^0(1-p{)}^2=(1-p{)}^2$ $P({\xi }_2=1.25)=P(\xi =1)=C_2^{1}p(1-p)=2p(1-p)$ $P({\xi }_2=0.2)=P(\xi =2)=C_2^2{p}^2=p^2$

其概率分布列为：

${\xi }_2$	1.3	1.25	0.2
$P$	$(1-p{)}^2$	$2p(1-p)$	$p^2$

数学期望 $E{\xi }_2$ 为： $E{\xi }_2=1.3(1-p{)}^2+1.25\times 2p(1-p)+0.2p^2$ 展开并按照 $p$ 的降幂进行合并同类项： $E{\xi }_2=1.3(1-2p+p^2)+2.5p(1-p)+0.2p^2$ $E{\xi }_2=1.3-2.6p+1.3p^2+2.5p-2.5p^2+0.2p^2$ $E{\xi }_2=(1.3-2.5+0.2)p^2+(-2.6+2.5)p+1.3$ $E{\xi }_2=-p^2-0.1p+1.3$

(2) 当 $E{\xi }_1<E{\xi }_2$ 时，代入 (1) 中所求得的期望表达式： $1.18<-p^2-0.1p+1.3$ 移项使其右侧为 0： $p^2+0.1p-0.12<0$ 两边同乘以 100 以化简系数： $100p^2+10p-12<0⟹50p^2+5p-6<0$

对二次多项式进行因式分解（十字相乘法）： $(5p-2)(10p+3)<0$ 解得不等式的解集区间为： $-\frac{3}{10}<p<\frac{2}{20}⟹-0.3<p<0.4$

由于已知价格下降的概率满足约束 $0<p<1$，将两区间求交集： $(-0.3,0.4)\cap (0,1)=(0,0.4)$

所以， $p$ 的取值范围是 $(0,0.4)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：离散型随机变量分布列的完整书写、二项分布通用概率公式、一元二次不等式的根分布求解。
• 核心方法：多项式展开消元法。
• 避坑指南：
• 写出分步概率后，应当通过 $(1-p{)}^2+2p(1-p)+p^2=[(1-p)+p{]}^2=1$ 进行和为 1 的严密自检。
• 最终求解出代数解集后，极易忽视题干中原本自带的概率定义域限制 $0<p<1$，切记必须将负数根截断淘汰。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是应用概率大题的经典构型，将经济投资项目决策场景与离散分布期望交汇，重点考查建立一元二次不等式并进行参数区间截断的能力。 结论推广: 对于通过 Bernoulli 试验（独立重复试验）收益函数建立的期望方程，若其各阶段收益是非线性的，其期望必表现为关于成功率 $p$ 的二次多项式，决策平衡点即为二次方程的实数根边界。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 23.04 二项分布与超几何分布
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望
• 2007-大纲卷II理-18 解-超几何分布分布列