本题导读
本题是一道集平面图形折叠、线面平行证明及二面角计算于一体的典型立体几何大题。第一问利用折叠前后不变的共线向量关系证明线面平行；第二问通过建立空间直角坐标系，将“正三角形”条件代入两点间距离公式，精确判定投影位置并求得二面角的余弦值。
📌【题干】
Question
（2006年辽宁卷(理)） 已知正方形 ，、 分别是边 、 的中点，将 沿 折起，如图所示，记二面角 的大小为 ().
(1) 证明： 平面 ；
(2) 若 为正三角形，试判断点 在平面 内的射影 是否在直线 上，证明你的结论，并求角 的余弦值.
🔍【思路分析】
破题导航
第一问：在未折叠的正方形中，利用中点性质可得 。折叠后，由于四边形 未发生相对形变，该向量相等关系依然保持。由此可直接证得 ，进而得证线面平行。 第二问：以 所在平面建立平面直角坐标系，利用变上限旋转模型写出折叠后动点 的三维坐标（含 ）。利用 变为正三角形即 的距离方程解出 ，再校验 的投影坐标 的纵坐标是否等于直线 的纵坐标。
✅【答案】
Success
(1) 证明见解析； (2) 点 在平面 内的射影 在直线 上，证明见解析，。
✍【详细解析】
Abstract
(1) 证明：在原正方形 中，因为 分别是 的中点， 所以 且 。 则四边形 为矩形，从而有 。 同时，四边形 也是矩形，有 。
由此可得：
将 沿 折起后，四边形 的形状与大小均未发生改变，因此 依然成立。 即 。 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 。
(2) 解：点 在平面 内的射影 在直线 上。证明如下：
不妨设正方形 的边长为 ，则 ，。 在平面 内，以 为原点， 所在直线为 轴，过 且垂直于 的直线为 轴建立空间直角坐标系 。 则各点坐标分别为：
直线 的方向向量为 。 折叠前，点 的坐标为 。过 作 于 ，利用向量投影可计算得垂足 的坐标为：
折叠过程中， 绕 旋转，二面角 初始（铺平）时为 。 当旋转二面角为 时，根据圆周旋转射影特征，可得折叠后点 的空间坐标为：
因此，点 在平面 （即 平面）内的射影 的坐标为：
因为 为正三角形，且 ，所以满足 。 利用空间两点间距离公式计算 到 的距离： 展开并结合 化简得：
将 代入射影点 的纵坐标中：
在平面 中，因为 ，，所以直线 的方程为 。 由于 ， 故点 在平面 内的射影 必定在直线 上。 此时角 的余弦值为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：向量共线在折叠体中的保持、旋转动点坐标的参数化表示、线线垂直与射影位置判定。
- 核心方法：空间直角坐标系解析法。
- 避坑指南：
- 第一问无需引入复杂的辅助面，抓住 与 在折叠前后相对位置不变且向量相等的代数本质即可秒杀。
- 第二问中旋转轴 不是坐标轴，直接设坐标比较困难，必须通过求出原平面内 到转轴的垂足 ，围绕 进行由平面向空间的射影三角分解。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题是立体几何中经典的“翻折问题”，考查在图形翻折过程中“变”与“不变”的几何量的辨析。 结论推广: 若四边形 为矩形， 分别是两组对边的中点，沿对角矩形内部切线 翻折。翻折运动中，动顶点在原底面上的投影轨迹是一条垂直于底边边的直线，当且仅当满足特定的长度平方和时，该投影恰好落在中位线上。
🔗【关联脉络】
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