2006-辽宁卷理-17 解-三角函数的单调性

本题导读

本题考查三角函数的恒等变换与最值、单调性。核心在于降幂与倍角公式化简、辅助角公式合成、整体代换法求单调区间的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 已知函数 $f(x)={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x$，$x\in \mathbb{R}$. 求：

(1) 函数 $f(x)$ 的最大值及取得最大值的自变量 $x$ 的集合；

(2) 函数 $f(x)$ 的单调增区间.

🔍【思路分析】

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统一自变量与降幂化简：利用二倍角正弦公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 和余弦降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 将函数转化为关于 $2x$ 的整体形式。 辅助角公式合成：将多项式合并化简为 $A\sin (2x+\varphi )+B$ 的标准三角函数形式。 求解最值与单调区间：结合正弦函数的标准值域（最大值为 1）以及单调增区间 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$，整体代入解出相应的自变量集合。

✅【答案】

Success

(1) 函数 $f(x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}+2$，取得最大值的自变量 $x$ 的集合为 $\left\{x|x=\frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$；

(2) 函数 $f(x)$ 的单调增区间为 $\left[-\frac{3\pi }{8}+k\pi ,\frac{\pi }{8}+k\pi \right]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

✍【详细解析】

Abstract

解：首先对函数 $f(x)$ 的解析式进行恒等变换： $f(x)={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)+2\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x$ 利用同角三角函数基本恒等式 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 以及二倍角公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$, $2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$ 进行代换： $f(x)=1+\sin 2x+(1+\cos 2x)=\sin 2x+\cos 2x+2$

利用辅助角公式进行合并： $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+2$

(1) 因为 $x\in \mathbb{R}$，所以当 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值： $f(x{)}_{\text{max}}=\sqrt{2}\times 1+2=\sqrt{2}+2$ 此时，自变量应满足： $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ $2x=\frac{\pi }{4}+2k\pi ⟹x=\frac{\pi }{8}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 所以，取得最大值的自变量 $x$ 的集合为 $\left\{x|x=\frac{\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$。

(2) 令整个复合角处于正弦函数的单调递增区间内： $-\frac{\pi }{2}+2k\pi \le 2x+\frac{\pi }{4}\le \frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 各部分同时减去 $\frac{\pi }{4}$ 得： $-\frac{3\pi }{4}+2k\pi \le 2x\le \frac{\pi }{4}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 各部分同时除以 2 得： $-\frac{3\pi }{8}+k\pi \le x\le \frac{\pi }{8}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 所以，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\frac{3\pi }{8}+k\pi ,\frac{\pi }{8}+k\pi \right]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二倍角与降幂公式的综合变形、辅助角公式合成、正弦型复合函数的增区间求解。
• 核心方法：整体代换法。
• 避坑指南：求单调区间时，务必将 $2x+\frac{\pi }{4}$ 作为一个整体放入标准增区间。最后除以 2 时，周期项 $2k\pi$ 也要同步除以 2 变为 $k\pi$，切勿漏掉对周期系数的调整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是典型的三角函数综合大题，考查通过“一角一丝一函数”的降幂合成策略将二次齐次式化为一阶单弦函数。 结论推广: 对于形如 $f(x)=A{\sin }^{2}x+B\sin x\cos x+C{\cos }^{2}x$ 的二次三角齐次多项式，均可通过变换化为 $\sqrt{\frac{B^2+(C-A{)}^2}{4}}\sin (2x+\varphi )+\frac{A+C}{2}$ 的标准型进行一网打尽式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-湖南卷理-16 解-三角函数单调递增区间
• 2007-辽宁文-19 解-三角化简与单调区间
• 2012-湖南卷文-18 解-三角函数图象与单调区间