2006-辽宁卷理-16 填-空间向量的方向余弦公式

本题导读

本题是一道高观点的立体几何创新填空压轴题。核心考查一根直线与正四棱柱的六个面所成角均相等这一极限对称构型下，方向线段在三维空间正交基底上的投影特征。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为 $\alpha$，则 $\cos \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

审清正四棱柱的面特征：正四棱柱共有 6 个面，其中上下底面为全等的正方形，四周 4 个侧面为全等的矩形。 分析直线的方向向量：设直线的单位方向向量为 $\vec{v}=(x,y,z)$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$。 建系表达线面角：以底面中心为原点，建立底面两条对称轴及高方向的空间直角坐标系。底面和侧面的法向量分别平行于坐标轴。 利用线面角相等列方程：直线与平面所成角的正弦值等于方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值。由与 6 个面成角均相等，推导方向向量各分量的绝对值关系，进而求得 $\alpha$ 的三角函数值。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：建立空间直角坐标系：以正四棱柱的下底面中心为原点，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 其中 $x$ 轴、 $y$ 轴分别垂直于正四棱柱的两组对边侧面（即平行于底面正方形的两条边）， $z$ 轴平行于侧棱（垂直于底面）。

在此建系下，正四棱柱的六个面的法向量方向可分别表示为：

• 左右两侧面的法向量可取为： $\overrightarrow{n_1}=(1,0,0)$
• 前后两侧面的法向量可取为： $\overrightarrow{n_2}=(0,1,0)$
• 上下底面的法向量可取为： $\overrightarrow{n_3}=(0,0,1)$

设该直线的单位方向向量为 $\vec{v}=(x_0,y_0,z_0)$，满足约束： $x_0^2+y_0^2+z_0^2=1\text{(1)}$

根据直线与平面所成角（线面角）的向量公式，直线与法向量为 $\vec{n}$ 的平面所成的角 $\alpha$ 满足 $\sin \alpha =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}|\cdot |\vec{n}|}$：

1. 直线与左右两侧面（法向量为 $\overrightarrow{n_1}$）所成的角为 $\alpha$，则： $\sin \alpha =\frac{|(x_0,y_0,z_0)\cdot (1,0,0)|}{1\times 1}=|x_0|$
2. 直线与前后两侧面（法向量为 $\overrightarrow{n_2}$）所成的角为 $\alpha$，则： $\sin \alpha =\frac{|(x_0,y_0,z_0)\cdot (0,1,0)|}{1\times 1}=|y_0|$
3. 直线与上下底面（法向量为 $\overrightarrow{n_3}$）所成的角为 $\alpha$，则： $\sin \alpha =\frac{|(x_0,y_0,z_0)\cdot (0,0,1)|}{1\times 1}=|z_0|$

因为直线与这六个面所成的角全部相等（均为 $\alpha$），所以必有： $|x_0|=|y_0|=|z_0|=\sin \alpha$ 从而它们的平方也相等： $x_0^2=y_y^2=z_0^2={\sin }^2\alpha$

将此等量关系代入单位向量的标准特征式①中： ${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1⟹3{\sin }^2\alpha =1⟹{\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$

根据同角三角函数平方和恒等式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$： ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

由于线面角 $\alpha$ 的实际几何定义域范围约束为 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，在此区间内余弦值恒为正数，故： $\cos \alpha =\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直线与平面所成角的向量统一表达公式、空间方向向量的方向余弦平方和恒等于 1 的基准性质。
• 核心方法：单位向量正交投影法。
• 避坑指南：
• 很多考生容易受到“正四棱柱的高和底面边长不一定相等”这一外在直观障碍的误导，从而认为直线与各面成角不可能相等。必须明白，题目给出的是一个“若”字的存在性强设，它在代数上直接锁死了方向向量分量的模长，与正四棱柱本身的具体高矮胖瘦没有绝对数值依赖。
• 最终求的是 $\cos \alpha$，解出 ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$ 后不要粗心错写成 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是高等数学中空间解析几何关于“方向导数与方向余弦”概念的初等化渗透。利用三维笛卡尔正交坐标系中 ${\cos }^2{\theta }_x+{\cos }^2{\theta }_y+{\cos }^2{\theta }_z=1$ 这一刚性规律进行巧妙转换。 结论推广: 在空间直角坐标系中，若一条直线与三个两两垂直的正交坐标平面所成的角均相等，则其与各平面所成角的正弦值固定为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，余弦值固定为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。该直线即为空间立方体的体对角线方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-15 填-向量数量积运算
• 2007-江西卷理-15 填-三角形中点向量性质