2006-辽宁卷理-15 填-互斥事件的加法原理

本题导读

本题考查带有双重复杂限制条件的排列组合计数问题。核心在于通过合理的分类讨论，处理“至少有一名老队员”与“1、2号位置至少有一名新队员”这两个相互交织的约束条件。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 5 名乒乓球队员中，有 2 名老队员和 3 名新队员. 现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体比赛，则入选的 3 名队员中至少有 1 名老队员，且 1、2 号中至少有 1 名新队员的排列方法有$\underline{}$种. （以数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

基本元素与结构：2老3新共5人，选3人填入1、2、3号位置，属于排列问题。 分析条件一：“入选的 3 人中至少有 1 名老队员”。其对立面是“全部选新队员”（3人全是新队员）。 分析条件二：“1、2号中至少有 1 名新队员”。其对立面是“1、2号全是老队员”。 求解策略（间接法高效）：

• 总的无约束选3人排列数： $A_5^3$。
• 减去违反条件一（全选新队员）的排列数。
• 减去违反条件二（1、2号全是老队员）的排列数。
• 检查并加上同时违反两个条件（既全选新队员，又1、2号全是老队员）的交集数（显然由于老新互斥，这两个条件不可能同时违反，交集为0）。

✅【答案】

Success

$48$

✍【详细解析】

Abstract

解：方法一：间接排除法

1. 计算从 5 名队员中任意选出 3 名排成 1、2、3 号的总排列数： $N_{\text{总}}=A_5^3=5\times 4\times 3=60\text{ 种}$

2. 排除违反条件一（入选的 3 名队员中没有老队员，即全选新队员）的排列数： 因为新队员共有 3 名，选出 3 名填入 1、2、3 号位置的排列数为： $N_1=A_3^3=3\times 2\times 1=6\text{ 种}$

3. 排除违反条件二（1、2号中没有新队员，即 1、2 号全部被老队员占据）的排列数：

• 1、2 号位置必须由 2 名老队员占据，排列数为 $A_2^2$；

• 剩下的 3 号位置从余下的 3 名新队员中任选 1 人占据，选法为 $C_3^1$。 此种情况的排列数为： $N_2=A_2^2\times C_3^1=2\times 1\times 3=6\text{ 种}$

4. 检查两排除集合的交集： 交集代表“既全选新队员，同时 1、2 号又全是老队员”。这两种情况在物理上是完全互斥的（不可能 3 人全是新队员的同时 1、2 号又是老队员），因而交集数为 0。

根据正向总数减去不合题意数的方法： $N=N_{\text{总}}-N_1-N_2=60-6-6=48\text{ 种}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：有限特定限制条件的排列问题、“至少”型命题的间接排除法逻辑。
• 核心方法：间接排除法。
• 避坑指南：
• 若采用正向分类讨论，由于限制条件涉及位置（1、2号）与成员（老新），分类极易由于考虑不周导致重叠或遗漏。强烈推荐使用间接法。
• 用间接法时，务必严密验证 $N_1$ 与 $N_2$ 是否存在重叠部分。本题中由于人员角色单一（一个人不可能既是新又是老），交集为0，可以直接做减法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是经典的特殊位置（1、2号）与特殊元素（新、老队员）复合限制的排队问题，考查逻辑思维的清晰度。 结论推广: 设元素集合包含 $M$ 个 $A$ 类元素与 $N$ 个 $B$ 类元素。选 $k$ 个元素排入特定序列，要求序列中至少有 $A$ 类元素，且局部特定区间内至少有 $B$ 类元素。通用计数表达式为 $A_{M+N}^k-A_M^k-\text{（特定区间全为 }A\text{ 类且其余随意的排列数）}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2007-重庆文-15 填-双限制条件排列课表
• 2008-浙江卷理-16 填-排列组合