2006-辽宁卷理-12 单-一元二次不等式恒成立

本题导读

本题是一道平面向量与代数不等式深度交汇的压轴选择题。核心在于将线段上的动点通过比例参数 $\lambda$ 转化为具体的坐标表示，利用向量数量积的坐标运算法则，将几何不等式转化为关于参数 $\lambda$ 的代数不等式进行求解。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 设 $O(0,0)$， $A(1,0)$， $B(0,1)$，点 $P$ 是线段 $AB$ 上的一个动点， $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$，若 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AB}\ge \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$，则实数 $\lambda$ 的取值范围是()

A. $\frac{1}{2}\le \lambda \le 1$　　B. $1-\frac{\sqrt{2}}{2}\le \lambda \le 1$　　C. $\frac{1}{2}\le \lambda \le 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$　　D. $1-\frac{\sqrt{2}}{2}\le \lambda \le 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

写出基础向量坐标：由已知点直接写出向量 $\overrightarrow{AB}=(-1,1)$。 引入参数表达动点 $P$：由 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$ 且 $P$ 在“线段 $AB$”上，强行约束参数自变量的基准范围为 $\lambda \in [0,1]$。设出 $P$ 的坐标，利用向量线性关系表示出包含 $\lambda$ 的 $P$ 点坐标。 坐标化代入不等式：写出向量 $\overrightarrow{OP}$、 $\overrightarrow{PA}$ 和 $\overrightarrow{PB}$ 的坐标形式，计算各自的数量积，列出关于 $\lambda$ 的一元二次不等式。 求解不等式并求交集：解出该代数不等式，将其与 $\lambda \in [0,1]$ 求交集，即得最终答案。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：1. 向量坐标表示 由已知定点 $O(0,0)$， $A(1,0)$， $B(0,1)$，可以计算出关键基底向量： $\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,1-0)=(-1,1)$

因为点 $P$ 是线段 $AB$ 上的一个动点，且满足 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$， 根据几何分点比例，参数 $\lambda$ 必须满足物理边界限制： $\lambda \in [0,1]\text{(1)}$

设动点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，则 $\overrightarrow{AP}=(x-1,y-0)=(x-1,y)$。 代入 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$ 中得： $(x-1,y)=\lambda (-1,1)⟹\{\begin{array}{l}x-1=-\lambda \\ y=\lambda \end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\ y=\lambda \end{array}$ 所以动点 $P$ 的坐标参数方程为 $(1-\lambda ,\lambda )$。

2. 展开不等式各项的坐标运算 依次写出目标不等式所需的各个向量坐标： $\overrightarrow{OP}=(1-\lambda ,\lambda )$ $\overrightarrow{PA}=A-P=(1-(1-\lambda ),0-\lambda )=(\lambda ,-\lambda )$ $\overrightarrow{PB}=B-P=(0-(1-\lambda ),1-\lambda )=(\lambda -1,1-\lambda )$

利用平面向量数量积的坐标公式 $2\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 分别计算不等式的左、右两端：

• 计算左端项 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AB}$： $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AB}=(1-\lambda )\times (-1)+\lambda \times 1=-1+\lambda +\lambda =2\lambda -1$
• 计算右端项 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$： $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\lambda \times (\lambda -1)+(-\lambda )\times (1-\lambda )=({\lambda }^2-\lambda )+(-\lambda +{\lambda }^2)=2{\lambda }^2-2\lambda$

3. 求解代数不等式 将计算结果代入原几何不等式 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AB}\ge \overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 中： $2\lambda -1\ge 2{\lambda }^2-2\lambda$ 移项并进行因式整理，化为标准一元二次不等式： $2{\lambda }^2-4\lambda +1\le 0$

求对应的二次方程 $2{\lambda }^2-4\lambda +1=0$ 的根： $\lambda =\frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\times 2\times 1}}{2\times 2}=\frac{4\pm \sqrt{16-8}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{4}=1\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为不等号方向朝向小于等于零，解集分布在两根之间： $1-\frac{\sqrt{2}}{2}\le \lambda \le 1+\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(2)}$

4. 结合实际边界求交集 将代数解集②与线段动点隐含的自变量约束范围①（$\lambda \in [0,1]$）求交集。 因为 $\sqrt{2}\approx 1.414$，则： $1-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1-0.707=0.293>0$ $1+\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 1+0.707=1.707>1$ 求交集运算如下： $\left[1-\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right]\cap [0,1]=\left[1-\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$

因此，实数 $\lambda$ 的取值范围是 $1-\frac{\sqrt{2}}{2}\le \lambda \le 1$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：动点的向量比例参数化表示、平面向量数量积的坐标乘法公式、有界一元二次不等式的交集联立。
• 核心方法：建系坐标解析法（最稳妥的定量消元手段）。
• 避坑指南：
• 致命陷阱：极易直接错选 D。很多考生解出代数不等式得到 $1-\frac{\sqrt{2}}{2}\le \lambda \le 1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ 后便大喜过望，直接勾选。必须时刻警惕题干中“线段 $AB$ 上的动点”这一几何约束，它强制卡死了 $\lambda \le 1$。超出 1 的部分属于射线延伸段，在图形上已脱离线段。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是解析几何代数化思维的典型代表，借用向量运算的外壳考查一元二次不等式和有限闭区间交集的逻辑推导，属于经典的高考压轴小题。 结论推广: 设 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$，其中 $A,B$ 为直角坐标轴上的单位端点，则几何量 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 恒等于 $\lambda (\lambda -1)|\overrightarrow{AB}{|}^2$。这种利用分点比参数表达距离乘积的形式在处理线段内部动点射影几何时具有极高的通用性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2007-浙江卷理-07 单-向量数量积代数化变形
• 2007-湖南卷理-04 单-向量垂直模长相等条件