2006-辽宁卷理-10 单-绝对值方程的分项代数讨论

本题导读

本题考查直线与含有绝对值的二次曲线的交点个数问题。核心在于通过联立方程将解析几何问题转化为一元代数方程根的个数判定，并结合自变量的实际物理约束进行筛选。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 直线 $y=2k$ 与曲线 $9k^2{x}^2+y^2=18k^2|x|$ ($k\in \mathbb{R}$，且 $k\ne 0$) 的公共点的个数为()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

将直线方程 $y=2k$ 直接代入曲线方程中，消去变量 $y$。 得到关于 $|x|$ 的一元二次方程： $9k^2|x{|}^2-18k^2|x|+4k^2=0$。 由于 $k\ne 0$，方程两边同时除以 $k^2$ 进行降维化简，得到 $9|x{|}^2-18|x|+4=0$。 解出 $|x|$ 的实数根，根据实数根的正负性判定对应 $x$ 的实数解个数，即为公共点个数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：将直线方程 $y=2k$ 代入曲线方程 $9k^2{x}^2+y^2=18k^2|x|$ 中， 因为 $x^2=|x{|}^2$，代入后可得： $9k^2|x{|}^2+(2k{)}^2=18k^2|x|$ $9k^2|x{|}^2-18k^2|x|+4k^2=0$

因为已知 $k\ne 0$，所以 $k^2>0$。 方程两边同时除以 $k^2$，可将参数 $k$ 完全消去，得到： $9|x{|}^2-18|x|+4=0$

设 $t=|x|$，由于 $x$ 为实数，则新变元满足 $t\ge 0$。 原方程变形为关于 $t$ 的一元二次方程： $9t^2-18t+4=0$

计算该方程的判别式 $\Delta$： $\Delta =(-18{)}^2-4\times 9\times 4=324-144=180>0$ 说明方程有两个不同的实数根。 设这两个根分别为 $t_1,t_2$，根据韦达定理： $t_1+t_2=\frac{18}{9}=2>0$ $t_1\cdot t_2=\frac{4}{9}>0$ 因为两根之积与两根之和均为正数，所以该方程具有两个不同的正实数根。

解得这两个正实数根为： $t=\frac{18\pm \sqrt{180}}{2\times 9}=\frac{18\pm 6\sqrt{5}}{18}=1\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ 因为 $\sqrt{5}\approx 2.236⟹\frac{\sqrt{5}}{3}<1$，所以 $t_1=1-\frac{\sqrt{5}}{3}>0$ 且 $t_2=1+\frac{\sqrt{5}}{3}>0$，两个根均符合 $t>0$ 的物理约束。

由于 $t=|x|$：

• 当 $t=t_1$ 时， $|x|=t_1⟹x=\pm t_1$（对应 2 个不同的 $x$ 值）；
• 当 $t=t_2$ 时， $|x|=t_2⟹x=\pm t_2$（对应 2 个不同的 $x$ 值）。

综上所述，共有 4 个不同的 $x$ 值满足方程。 即直线与曲线共有 4 个不同的公共点。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直线与曲线交点个数的代数转换、一元二次方程根的分布（正负根判定）。
• 核心方法：代入消元法、换元判定法。
• 避坑指南：
• 很多考生看到参数 $k$ 就会陷入分类讨论的误区。必须要敏锐发现方程各项都含 $k^2$，除以 $k^2$ 之后参数可直接剥离。
• 解出 $t$ 的方程后，必须严格校验两个根是否全部为正数。只有当 $t>0$ 时，一个 $t$ 才能解出正负两个 $x$；若有一个根为负数，则需要舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题由标准的椭圆方程经过绝对值轴对称变换组合而成。原曲线 $9k^2{x}^2+y^2=18k^2|x|$ 经过配方后，在 $x\ge 0$ 时为椭圆 $\frac{(x-1{)}^2}{\frac{1}{9}}+\frac{y^2}{k^2}=1$，利用关于 $y$ 轴对称将两个半椭圆拼成了形如“心形”或“眼镜形”的封闭曲线。 结论推广: 对于形如 $A^2{x}^2+y^2=2B|x|$ 的对称封闭图形，当水平直线 $y=C$ 截该图形时，只要 $|C|$ 满足小于椭圆整体的最高顶点，其截得的交点数由于左右对称性，多表现为 4 个或 2 个。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2011-陕西卷文-06 单-绝对值与余弦方程根