2006-辽宁卷理-09 单-等比数列的前 n 项和公式

本题导读

本题考查等比数列的性质。核心在于探究一个等比数列整体平移一个常数后“仍为等比数列”的严格代数约束条件，从而确定公比并求和。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 在等比数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1=2$，前 $n$ 项和为 $S_n$，若数列 $\{a_n+1\}$ 也是等比数列，则 $S_n$ 等于()

A. $2^{n+1}-2$　　　　　B. $3n$　　　　　C. $2n$　　　　　D. $3^n-1$

🔍【思路分析】

破题导航

代数推导法：设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，则 $a_1=2,a_2=2q,a_3=2q^2$。新数列的前三项分别为 $2+1=3,2q+1,2q^2+1$。利用新数列也是等比数列，根据等比中项性质列出方程 $(2q+1{)}^2=3(2q^2+1)$，反解出公比 $q$。 特殊性分析：考虑常数数列的特殊情况。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：方法一（代数待定系数法）： 设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。由于 $a_1=2$，则该数列的前三项为： $a_1=2,a_2=2q,a_3=2q^2$ 已知新数列 $\{b_n\}=\{a_n+1\}$ 也是等比数列，其前三项分别为： $b_1=2+1=3,b_2=2q+1,b_3=2q^2+1$ 根据等比数列的等比中项性质，必有 $b_2^2=b_1\cdot b_3$： $(2q+1{)}^2=3(2q^2+1)$ 展开多项式进行化简： $4q^2+4q+1=6q^2+3$ 移项合并同类项： $2q^2-4q+2=0⟹2(q-1{)}^2=0$ 解得公比： $q=1$

当 $q=1$ 时，原数列 $\{a_n\}$ 是首项为 2、公比为 1 的常数数列，即 $a_n=2$ 恒成立。 此时新数列 $a_n+1=3$ 也是公比为 1 的常数等比数列，完全符合题意。 根据等比数列求和公式，当 $q=1$ 时： $S_n=n\cdot a_1=n\times 2=2n$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比中项的代数方程转化、公比 $q=1$ 时等比数列求和公式的特殊形式。
• 核心方法：等比中项方程法。
• 避坑指南：很多考生对等比数列求和公式存在思维定势，习惯性直接套用 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，从而在分母出现 $1-1=0$ 时陷入混乱。必须牢记公比 $q=1$ 时，求和公式退化为线性求和 $S_n=n\cdot a_1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查数列构造的刚性约束条件。一个非零等比数列 $a_n$ 平移常数 $k$ （$k\ne 0$）后若仍能保持等比特征，则强行限制了其公比必须为 1。 结论推广: 若数列 $\{a_n\}$ 与 $\{a_n+k\}$ ($k\ne 0$) 同时为等比数列，则该数列必为常数数列（即公比 $q=1$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-05 单-等比数列片段性质
• 2007-新课标Ⅰ文-06 单-等比数列的性质
• 2007-福建文-02 单-等比数列的性质