2006-辽宁卷理-08 单-焦点坐标与焦距的计算

本题导读

本题考查含参数的圆锥曲线标准方程的识别与其几何特征的判定。通过限制参数范围，准确识别曲线类型（椭圆或双曲线），并通过代数计算判定两个曲线族的焦点特征。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 曲线 $\frac{x^2}{10-m}+\frac{y^2}{6-m}=1$ ($m<6$) 与曲线 $\frac{x^2}{5-n}+\frac{y^2}{9-n}=1$ ($5<n<9$) 的()

A. 焦距相等　　B. 离心率相等　　C. 焦点相同　　D. 准线相同

🔍【思路分析】

破题导航

分析第一条曲线：由 $m<6$ 可知，$10-m>0$ 且 $6-m>0$。由于 $10-m>6-m$，方程表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，计算其半焦距平方 $c_1^2=a_1^2-b_1^2$。 分析第二条曲线：由 $5<n<9$ 可知，$5-n<0$ 且 $9-n>0$。方程表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，计算其半焦距平方 $c_2^2=a_2^2+b_2^2$。 对比关键几何量：比较 $c_1^2$ 与 $c_2^2$ 的代数化简结果，确定两者焦距的关系；结合焦点所在轴的不同判定焦点是否相同。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：1. 对于第一条曲线 $\frac{x^2}{10-m}+\frac{y^2}{6-m}=1(m<6)$： 因为 $m<6$，所以 $10-m>4>0$， $6-m>0$，且 $10-m>6-m$。 该方程表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，其中 $a_1^2=10-m,b_1^2=6-m$。 其半焦距的平方 $c_1^2$ 为： $c_1^2=a_1^2-b_1^2=(10-m)-(6-m)=4⟹c_1=2$ 其焦距为 $2c_1=4$，焦点坐标为 $(\pm 2,0)$。

2. 对于第二条曲线 $\frac{x^2}{5-n}+\frac{y^2}{9-n}=1(5<n<9)$： 因为 $5<n<9$，所以 $5-n<0$， $9-n>0$。 将方程标准形式化为双曲线标准方程： $\frac{y^2}{9-n}-\frac{x^2}{n-5}=1$ 该方程表示焦点在 $y$ 轴上的双曲线，其中 $a_2^2=9-n,b_2^2=n-5$。 其半焦距的平方 $c_2^2$ 为： $c_2^2=a_2^2+b_2^2=(9-n)+(n-5)=4⟹c_2=2$ 其焦距为 $2c_2=4$，焦点坐标为 $(0,\pm 2)$。

3. 对比结论： 两曲线的半焦距均为 $c=2$，因此焦距相等，均为 4。 由于第一条曲线的焦点在 $x$ 轴上，第二条曲线的焦点在 $y$ 轴上，它们的焦点并不相同，离心率与准线显然也不同。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆与双曲线标准方程分母的正负判定、焦距基本量 $c$ 的计算公式（椭圆 $c^2=a^2-b^2$，双曲线 $c^2=a^2+b^2$）。
• 核心方法：公式代数消元法。
• 避坑指南：
• 极其容易在计算双曲线的 $c^2$ 时出错。由于第二条曲线中 $x^2$ 的分母 $5-n$ 是负数，对应的几何量 $b^2=-(5-n)=n-5$，代入双曲线公式 $c^2=a^2+b^2$ 时不要带错符号。
• 算出 $c^2$ 均为 4 后，要注意焦点所在的坐标轴不同（一个是 $x$ 轴型，一个是 $y$ 轴型），不能误选 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题考查解析几何圆锥曲线标准方程中分母对曲线形状的控制关系，是经典的参数曲线几何量辨析题。 结论推广: 方程 $\frac{x^2}{A-\lambda }+\frac{y^2}{B-\lambda }=1$ 当 $\lambda$ 改变时，若曲线类型发生切换（椭圆与双曲线交替），在特定区间内其焦距平方差往往通过消去参数 $\lambda$ 呈现出常数特性，这在解析几何中被称为“共焦或等距曲线族”特征。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2007-辽宁文-03 单-双曲线焦点坐标
• 2007-辽宁卷理-11 单-焦点三角形面积公式余弦定理
• 2008-重庆文-08 单-双曲线焦点与抛物线准线