2006-辽宁卷理-07 单-指数函数与对数函数的互化

本题导读

本题考查曲线关于直线 $y=x$ 对称的几何性质。关于 $y=x$ 对称的曲线方程即为原函数的反函数方程，核心在于通过配方法将原指数式反解出 $x$。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 与方程 $y={\text{e}}^{2x}-2{\text{e}}^x+1$ ($x\ge 0$) 的曲线关于直线 $y=x$ 对称的曲线方程为()

A. $y=\ln (1+\sqrt{x})$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\ln (1-\sqrt{x})$

C. $y=-\ln (1+\sqrt{x})$　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=-\ln (1-\sqrt{x})$

🔍【思路分析】

破题导航

根据解析几何与函数性质，关于直线 $y=x$ 对称的曲线方程，其本质就是求原函数的反函数。 将原方程 $y={\text{e}}^{2x}-2{\text{e}}^x+1$ 利用完全平方公式配方，得 $y=({\text{e}}^x-1{)}^2$。 结合已知自变量范围 $x\ge 0$ 确定 ${\text{e}}^x-1$ 的正负性，两边开平方反解出 $x$ 关于 $y$ 的表达式。 互换 $x,y$ 符号，即可得到目标曲线方程。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：由原方程 $y={\text{e}}^{2x}-2{\text{e}}^x+1$ 可利用完全平方公式变形为： $y=({\text{e}}^x-1{)}^2$

因为已知 $x\ge 0$，根据指数函数的单调性有： ${\text{e}}^x\ge {\text{e}}^0=1⟹{\text{e}}^x-1\ge 0$ 从而对 $y=({\text{e}}^x-1{)}^2$ 两边开平方，保留正根： ${\text{e}}^x-1=\sqrt{y}$ 移项得： ${\text{e}}^x=1+\sqrt{y}$ 两边取自然对数，反解出 $x$： $x=\ln (1+\sqrt{y})$

根据关于直线 $y=x$ 对称的轨迹变换规律，将上式中的 $x$ 与 $y$ 互换，得到对称曲线的方程为： $y=\ln (1+\sqrt{x})$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：反函数的求解步骤、关于 $y=x$ 对称的代数实质、指数与对数互化。
• 核心方法：完全平方配方法、互逆映射法。
• 避坑指南：开平方时必须根据 $x\ge 0⟹{\text{e}}^x-1\ge 0$ 判定脱去平方绝对值后的正负号。若忽略此条件直接开方，容易混淆正负号导致错选 C 或 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是基本初等函数章节中“反函数”概念的延伸考查，将反函数的求解包装在“关于直线 $y=x$ 对称”这一几何外壳下。 结论推广: 曲线 $y=f(x)$ 关于直线 $y=x$ 对称的方程即为 $x=f(y)$，将其化为以 $y$ 为自变量的显函数形式 $y=f^{-1}(x)$ 即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 16.05 对称性问题
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津文-05 单-对数型反函数
• 2007-辽宁卷理-02 单-函数反函数图象对称性
• 2007-重庆文-10 单-反函数对称点求参