2006-辽宁卷理-06 单-解三角形与三角形内角确定

本题导读

本题将平面向量共线的坐标条件与解三角形中的余弦定理相融合，考查通过向量平行条件推导三角形边角关系并求解内角大小的能力。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） $△ABC$ 的三内角 $A,B,C$ 所对边的长分别为 $a,b,c$，设向量 $\vec{p}=(a+c,b)$、 $\vec{q}=(b-a,c-a)$. 若 $\vec{p}\parallel \vec{q}$，则角 $C$ 的大小为()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

运用平面向量平行的坐标表示条件 $\vec{p}\parallel \vec{q}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 列出关于边长的代数式。 展开并化简该代数式，得到边 $a,b,c$ 之间的关系： $a^2+b^2-c^2=ab$（或其变体）。 观察该边长结构，对照余弦定理公式 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 进行整体代换，求出 $\cos C$，进而求得角 $C$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $\vec{p}=(a+c,b)$， $\vec{q}=(b-a,c-a)$，且 $\vec{p}\parallel \vec{q}$， 根据平面向量共线的坐标充要条件得： $(a+c)(c-a)-b(b-a)=0$

展开多项式进行化简： $(c^2-a^2)-(b^2-ab)=0⟹c^2-a^2-b^2+ab=0$ 移项调整结构得： $a^2+b^2-c^2=ab$

根据余弦定理，角 $C$ 的余弦公式为： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

将 $a^2+b^2-c^2=ab$ 代入上式中： $\cos C=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$

因为 $C$ 为 $△ABC$ 的内角，所以 $C\in (0,\pi )$。 由 $\cos C=\frac{1}{2}$ 解得： $C=\frac{\pi }{3}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量平行的坐标判别式、余弦定理边角转换公式。
• 核心方法：坐标化简法、余弦定理直接代换法。
• 避坑指南：多项式相乘时注意 $(a+c)(c-a)=c^2-a^2$，展开 $-b(b-a)=-b^2+ab$，极易因符号看错导致代数式化简为 $a^2+b^2-c^2=-ab$ 从而错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题源自教材解三角形章节中“利用余弦定理判定三角形形状或角”的经典练习，通过引入向量的坐标共线形式作为外壳，考查综合运算能力。 结论推广: 若在三角形中，边长满足关系 $a^2+b^2-c^2=\lambda ab$，则该角余弦值恒为 $\cos C=\frac{\lambda }{2}$。由于内角有界性，参数 $\lambda \in (-2,2)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 2008-湖南文-07 单-向量数量积与余弦定理