2006-辽宁卷理-02 单-函数奇偶性的四则运算性质

本题导读

本题考查任意函数的对称组合构造，通过奇偶性的核心定义式进行代数符号检验，判别新构造函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(理)） 设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上任意函数，则下列叙述正确的是()

A. $f(x)f(-x)$ 是奇函数　　　　　　　　B. $f(x)|f(-x)|$ 是奇函数

C. $f(x)-f(-x)$ 是偶函数　　　　　　D. $f(x)+f(-x)$ 是偶函数

🔍【思路分析】

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设各选项组合而成的新函数为 $F(x)$。 利用定义式分别计算 $F(-x)$ 的解析式。 比较 $F(-x)$ 与 $F(x)$ 的代数符号关系：若 $F(-x)=F(x)$ 则为偶函数；若 $F(-x)=-F(x)$ 则为奇函数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：(A) 设 $F_1(x)=f(x)f(-x)$，则 $F_1(-x)=f(-x)f(-(-x))=f(-x)f(x)=F_1(x)$，故 $f(x)f(-x)$ 恒为偶函数，A错误； (B) 设 $F_2(x)=f(x)|f(-x)|$，则 $F_2(-x)=f(-x)|f(x)|$，与 $-F_2(x)$ 不恒相等，奇偶性无法确定，B错误； (C) 设 $F_3(x)=f(x)-f(-x)$，则 $F_3(-x)=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x))=-F_3(x)$，故 $f(x)-f(-x)$ 恒为奇函数，C错误； (D) 设 $F_4(x)=f(x)+f(-x)$，则 $F_4(-x)=f(-x)+f(x)=F_4(x)$，故 $f(x)+f(-x)$ 恒为偶函数，D正确。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数奇偶性的代数判定、自变量变号映射。
• 核心方法：定义验证法。
• 避坑指南：注意任意函数 $f(x)$ 本身不具有奇偶性。做题时切勿主观把 $f(-x)$ 展开为 $-f(x)$，只需严格对自变量进行变号整体替换即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题基于教材中“任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和”这一原理设计。 结论推广: 任意定义在对对称区间上的函数 $f(x)$ 均可分拆为： $f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$，其中前半部分恒为偶函数，后半部分恒为奇函数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-广东文-03 单-奇偶性与单调性判定
• 2007-陕西卷理-09 单-函数奇偶性