2006-辽宁文-22 解-抛物线向量垂直与直径圆

本题导读

本题考查抛物线的标准方程。核心在于向量模相等化垂直。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 已知点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$（$x_1\ne 0$，$x_2\ne 0$）是抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）上的两个动点，$O$ 是坐标原点，向量 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$ 满足 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$，设圆 $C$ 的方程为 $x^2+y^2-(x_1+x_2)x-(y_1+y_2)y=0$． （1）证明线段 $AB$ 是圆 $C$ 的直径； （2）当圆 $C$ 的圆心到直线 $x-2y=0$ 的距离的最小值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 时，求 $p$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|}^2-|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}{|}^2=4\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，故 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。
2. 圆 $C$ 方程配方得 ${\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{y_1+y_2}{2}\right)}^2=\frac{(x_1+x_2{)}^2+(y_1+y_2{)}^2}{4}$，圆心为 $AB$ 中点，半径 $=\frac{1}{2}|AB|$，故 $AB$ 是直径。
3. 设 $A=\left(\frac{p}{2}{t}^2,pt\right)$，由 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$ 得 $t_1{t}_2=-4$，令 $t_1=t$，$t_2=-\frac{4}{t}$。
4. 圆心到 $x-2y=0$ 的距离 $d=\frac{p}{4\sqrt{5}}\left|t^2+\frac{16}{t^2}-4t+\frac{16}{t}\right|$，令 $u=t-\frac{4}{t}$ 配成 $(u-2{)}^2+4⩾4$，得 $d_{\min }=\frac{p}{\sqrt{5}}$。
5. 由 $d_{\min }=\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 得 $\frac{p}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$p=2$。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析

(2)$p=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由已知 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$，平方相减得 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{|}^2-|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}{|}^2=4\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$， 所以 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，即 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$． 将圆 $C$ 的方程配方： ${\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{y_1+y_2}{2}\right)}^2=\frac{(x_1+x_2{)}^2+(y_1+y_2{)}^2}{4}$． 故圆心为 $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$，即线段 $AB$ 的中点； 又 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{AB}|$，圆 $C$ 的半径 $=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|$， 所以线段 $AB$ 是圆 $C$ 的直径． （2）设抛物线上点的参数为 $t$，则点可写为 $\left(\frac{p}{2}{t}^2,pt\right)$，设 $A,B$ 对应参数 $t_1,t_2$（$t_1,t_2\ne 0$）． 由 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$ 得 $\frac{p^2}{4}{t}_1^2{t}_2^2+p^2{t}_1{t}_2=0$，即 $t_1{t}_2=-4$，令 $t_1=t$，则 $t_2=-\frac{4}{t}$． 圆心 $M$ 到直线 $x-2y=0$ 的距离 $d=\frac{\left|x_1+x_2-2y_1-2y_2\right|}{2\sqrt{5}}$ $=\frac{p}{4\sqrt{5}}\left|t^2+\frac{16}{t^2}-4t+\frac{16}{t}\right|$． 令 $u=t-\frac{4}{t}$，则 $t^2+\frac{16}{t^2}-4t+\frac{16}{t}=u^2+8-4u=(u-2{)}^2+4⩾4$， 当 $t-\frac{4}{t}=2$（即 $t=1\pm \sqrt{5}$）时等号成立，故 $d_{\min }=\frac{p}{\sqrt{5}}$． 由题设 $\frac{p}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}}$，得 $p=2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线向量垂直与直径圆

核心方法：向量模相等化垂直，圆的方程配方定圆心，参数法求最值

避坑指南：$|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}|$ 平方相减得 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$；圆配方圆心即 $AB$ 中点、半径 $\frac{1}{2}|AB|$；参数化 $A=\left(\frac{p}{2}{t}^2,pt\right)$，$t_1{t}_2=-4$，距离配平方得 $d_{\min }=\frac{p}{\sqrt{5}}$，$p=2$；$t^2+\frac{16}{t^2}-4t+\frac{16}{t}$ 用 $u=t-\frac{4}{t}$ 换元配方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 抛物线向量垂直与直径圆，解析几何压轴题

结论推广: 向量模相等 $⟺$ 垂直，圆方程配方定直径；参数化后用换元配方法求距离最值

方法推广: 抛物线设参数 $\left(\frac{p}{2}{t}^2,pt\right)$ 化双变量为单变量，是求最值的关键

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2010-浙江卷文-22 解-抛物线与直径圆
• 2009-大纲Ⅰ文-22 解-抛物线与圆最值