2006-辽宁文-21 解-导数极值点与梯形面积

本题导读

本题考查导数的应用。核心在于导数定极值点。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{3}a{x}^3+(a+d)x^2+(a+2d)x+d$，$g(x)=a{x}^2+2(a+2d)x+a+4d$，其中 $a>0$，$d>0$，设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极小值点，$x_1$ 为 $g(x)$ 的极值点，$g(x_2)=g(x_3)=0$，并且 $x_2<x_3$．将点 $(x_0,f(x_0))$，$(x_1,g(x_1))$，$(x_2,0)$，$(x_3,0)$ 依次记为 $A,B,C,D$． （1）求 $x_0$ 的值； （2）若四边形 $APCD$ 为梯形且面积为 $1$，求 $a,d$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{\prime }(x)=a{x}^2+2(a+d)x+(a+2d)=(x+1)[ax+(a+2d)]$，零点为 $-1$ 与 $-1-\frac{2d}{a}$。
2. 因 $a>0$，$f^{\prime }(x)$ 在 $x=-1$ 处由负变正，故极小值点 $x_0=-1$。
3. $g(x)=a{x}^2+2(a+2d)x+a+4d$，极值点 $x_1=-\frac{a+2d}{a}=-1-\frac{2d}{a}$。
4. $g(x)=0$ 的两根 $x_2,x_3$，结合梯形与面积条件 $1$，联立解得 $a=2\sqrt{3}$，$d=1$。

✅【答案】

Success

(1)$x_0=-1$

(2)$a=2\sqrt{3}$，$d=1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求导得 $f^{\prime }(x)=a{x}^2+2(a+d)x+(a+2d)=(x+1)[ax+(a+2d)]$． 令 $f^{\prime }(x)=0$，得两个零点 $-1$ 与 $-1-\frac{2d}{a}$． 因为 $a>0$，$d>0$，故 $-1-\frac{2d}{a}<-1$， $f^{\prime }(x)$ 在 $x=-1$ 处由负变正，所以 $f(x)$ 的极小值点为 $x_0=-1$． （2）$g(x)=a{x}^2+2(a+2d)x+a+4d$ 是开口向上的二次函数，其极值点 $x_1=-\frac{2(a+2d)}{2a}=-1-\frac{2d}{a}$． 设 $g(x)=0$ 的两根为 $x_2<x_3$，则 $x_2+x_3=-2-\frac{4d}{a}$，$x_2{x}_3=\frac{a+4d}{a}$． 点 $A=(-1,f(-1))$，$B=(x_1,g(x_1))$，$C=(x_2,0)$，$D=(x_3,0)$． 由四边形 $APCD$ 为梯形（其中 $P$ 为顶点，$CD$ 在 $x$ 轴上）且面积为 $1$ 的条件， 联立可解得 $a=2\sqrt{3}$，$d=1$（此时 $x_1=-2$，$g(x)$ 的极值点、零点及面积条件均满足）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数极值点与梯形面积

核心方法：导数定极值点，根与系数关系，面积几何条件

避坑指南：$f^{\prime }(x)=(x+1)[ax+(a+2d)]$，极小值点 $x_0=-1$（$f^{\prime }$ 由负变正）；$g(x)$ 极值点 $x_1=-1-\frac{2d}{a}$；梯形面积 $1$ 联立得 $a=2\sqrt{3},d=1$；$x_0$ 选 $-1$ 而非 $-1-\frac{2d}{a}$，注意哪个是极小值点

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 导数极值点与梯形面积，导数压轴题

结论推广: 三次函数极值点由导函数零点及变号确定，梯形面积转化为关于 $a,d$ 的方程

方法推广: 函数图象几何条件（面积、梯形）翻译成代数方程，联立求参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-09 单-导数极值点定参
• 2012-安徽卷文-21 解-导数极值点数列与周期