2006-辽宁文-17 解-三角降幂化一求最值单调

本题导读

本题考查二倍角公式。核心在于降幂辅助角化一。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x$，$x\in \mathbf{R}$．求： （1）函数 $f(x)$ 的最大值及取得最大值的自变量 $x$ 的集合； （2）函数 $f(x)$ 的单调增区间．

🔍【思路分析】

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1. 用二倍角与降幂公式化一：${\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x=1+2{\cos }^{2}x=2+\cos 2x$，$2\sin x\cos x=\sin 2x$。
2. 故 $f(x)=2+\sin 2x+\cos 2x=2+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。
3. 最大值 $2+\sqrt{2}$，当 $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 即 $x=\frac{\pi }{8}+k\pi$ 时取得。
4. 增区间：令 $2x+\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$，解得 $x\in \left[k\pi -\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{\pi }{8}\right]$。

✅【答案】

Success

(1)最大值 $2+\sqrt{2}$，取得最大值的自变量集合为 $\left\{x\mid x=k\pi +\frac{\pi }{8},k\in \mathbf{Z}\right\}$

(2)单调增区间为 $\left[k\pi -\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{\pi }{8}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）由二倍角公式及降幂公式， $f(x)={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x$ $=(1+2{\cos }^{2}x)+\sin 2x=2+\cos 2x+\sin 2x$ $=2+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$． 因为正弦函数的值不超过 $1$，所以 $f(x)$ 的最大值为 $2+\sqrt{2}$． 取得最大值时 $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，即 $x=\frac{\pi }{8}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）， 故取得最大值的自变量集合为 $\left\{x\mid x=k\pi +\frac{\pi }{8},k\in \mathbf{Z}\right\}$． （2）$f^{\prime }(x)=2\cos 2x-2\sin 2x=2\sqrt{2}\cos \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$． 当 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi <2x+\frac{\pi }{4}<\frac{\pi }{2}+2k\pi$，即 $-\frac{3\pi }{8}+k\pi <x<\frac{\pi }{8}+k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）时，$f^{\prime }(x)>0$， 所以函数的单调增区间为 $\left[k\pi -\frac{3\pi }{8},k\pi +\frac{\pi }{8}\right]$（$k\in \mathbf{Z}$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角降幂化一求最值单调

核心方法：降幂辅助角化一，利用正弦单调性定区间

避坑指南：$f(x)=2+\sin 2x+\cos 2x=2+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$，最大 $2+\sqrt{2}$；增区间令 $2x+\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$；别忘 ${\sin }^{2}x+3{\cos }^{2}x$ 化为 $2+\cos 2x$ 而非 $1+2{\cos }^{2}x$ 直接算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三角降幂化一求最值与单调，常规考题

结论推广: $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x$ 用降幂+辅助角化为 $A\sin (2x+\phi )+k$

方法推广: 二次三角式一律降幂化一，再研究周期、最值、单调性

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-16 解-三角化一给值求值
• 2012-湖南卷文-18 解-三角函数图象与单调区间