2006-辽宁文-15 填-半球内接正六棱锥侧面积

本题导读

本题考查棱锥的侧面积，以及球的截面性质。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 如图，半径为 $2$ 的半球内有一内接正六棱锥 $P-ABCDEF$，则此正六棱锥的侧面积是____．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正六棱锥底面正六边形 $ABCDEF$ 内接于半球底面圆（半径 $2$），故六边形边长 $=2$。
2. 顶点 $P$ 在球面上正对底面圆心正上方，棱锥高 $PO=2$。
3. 底面中心 $O$ 到边 $AB$ 的距离 $d=2\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}$。
4. 侧面斜高 $h=\sqrt{P{O}^2+d^2}=\sqrt{2^2+3}=\sqrt{7}$。
5. 侧面积 $=6\times \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{7}=6\sqrt{7}$。

✅【答案】

Success

$6\sqrt{7}$

✍【详细解析】

Abstract

正六棱锥的底面是内接于半球底圆（半径为 $2$）的正六边形， 故正六边形边长等于外接圆半径，即边长为 $2$，底面中心到边的距离 $d=2\cos 30^{\circ }=\sqrt{3}$． 顶点 $P$ 在球面上且正对底面中心正上方，棱锥的高 $PO=2$（半球半径）． 于是侧面斜高 $h=\sqrt{P{O}^2+d^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{7}$． 侧面积 $S=6\times \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{7}=6\sqrt{7}$． 故答案为 $6\sqrt{7}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：半球内接正六棱锥侧面积

核心方法：正六边形边长定底面，勾股定理求斜高

避坑指南：底正六边形内接于半径 $2$ 的圆，边长 $=2$；中心到边距离 $\sqrt{3}$，斜高 $\sqrt{2^2+3}=\sqrt{7}$，侧面积 $6\times \frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{7}=6\sqrt{7}$；棱锥高 $PO$ 等于半球半径 $2$ 是关键

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 球内接几何体的侧面积，空间计算题

结论推广: 正六棱锥底面正六边形内接于球截面圆，边长等于圆半径；棱锥高即球半径

方法推广: 球内接多面体先找球心与底面中心关系，用截面圆半径算底面边长

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-13 填-六棱锥侧面积