2006-辽宁文-12 单-椭圆双曲线焦距比较

本题导读

本题考查椭圆与双曲线的几何性质，以及焦距。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 曲线 $\frac{x^2}{10-m}+\frac{y^2}{6-m}=1$（$m<6$）与曲线 $\frac{x^2}{5-n}+\frac{y^2}{9-n}=1$（$5<n<9$）的()

A. 离心率相等　　B. 焦距相等　　C. 焦点相同　　D. 准线相同

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一支：$m<6$ 时 $10-m>6-m>0$，是焦点在 $x$ 轴的椭圆，$a^2=10-m$，$b^2=6-m$，$c^2=a^2-b^2=4$。
2. 第二支：$5<n<9$ 时 $5-n<0$，$9-n>0$，是焦点在 $y$ 轴的双曲线，$a^2=9-n$，$b^2=n-5$，$c^2=a^2+b^2=4$。
3. 两者 $c$ 都等于 $2$，故焦距 $2c=4$ 相等。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对于曲线 $\frac{x^2}{10-m}+\frac{y^2}{6-m}=1$（$m<6$）， 有 $10-m>6-m>0$，它是焦点在 $x$ 轴上的椭圆， $a^2=10-m$，$b^2=6-m$，故 $c^2=a^2-b^2=4$，$c=2$． 对于曲线 $\frac{x^2}{5-n}+\frac{y^2}{9-n}=1$（$5<n<9$）， 有 $5-n<0$、$9-n>0$，它是焦点在 $y$ 轴上的双曲线， $a^2=9-n$，$b^2=n-5$，故 $c^2=a^2+b^2=4$，$c=2$． 两曲线半焦距都等于 $2$，故焦距 $2c=4$ 相等． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆双曲线焦距比较

核心方法：曲线类型判定，焦距比较

避坑指南：第一支是椭圆 $c^2=10-m-(6-m)=4$，第二支是双曲线 $c^2=9-n+(n-5)=4$，半焦距都等于 $2$，焦距相等；先判椭圆/双曲线再算 $c$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 椭圆与双曲线几何量比较，概念综合题

结论推广: 由参数范围判定曲线类型，分别求 $c$ 比较焦距

方法推广: 比较几何量先判型再算 $a,b,c$，焦距 $2c$ 是最稳妥的比较对象

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-02 单-双曲线焦距
• 2013-湖北卷文-02 单-双曲线焦距