2006-辽宁文-11 单-指数型函数反函数

本题导读

本题考查反函数，以及对数函数。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 与方程 $y=e^{2x}-2e^x+1$（$x⩾0$）的曲线关于直线 $y=x$ 对称的曲线方程为()

A. $y=\ln (1+\sqrt{x})$　　B. $y=\ln (1-\sqrt{x})$　　C. $y=-\ln (1+\sqrt{x})$　　D. $y=-\ln (1-\sqrt{x})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y=e^{2x}-2e^x+1=(e^x-1{)}^2$。
2. 关于 $y=x$ 对称即求反函数：由 $x⩾0$ 得 $e^x⩾1$，$e^x-1⩾0$。
3. $e^x-1=\sqrt{y}$，$e^x=1+\sqrt{y}$，$x=\ln (1+\sqrt{y})$。
4. 互换 $x,y$ 得 $y=\ln (1+\sqrt{x})$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$y=e^{2x}-2e^x+1=(e^x-1{)}^2$． 曲线关于直线 $y=x$ 对称的曲线即原曲线的反函数图象． 由 $x⩾0$ 得 $e^x⩾1$，故 $e^x-1=\sqrt{y}$，$e^x=1+\sqrt{y}$， $x=\ln (1+\sqrt{y})$（其中 $y⩾0$）． 互换 $x$ 与 $y$，得对称曲线方程 $y=\ln (1+\sqrt{x})$（$x⩾0$）． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数型函数反函数

核心方法：配方求反函数，关于 y=x 对称互反

避坑指南：$y=(e^x-1{)}^2$，由 $x⩾0$ 得 $e^x-1⩾0$，$x=\ln (1+\sqrt{y})$，互换得 $y=\ln (1+\sqrt{x})$；别忽略 $x⩾0$ 导致 $e^x-1⩾0$ 的取正

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 指数型函数的反函数，函数性质题

结论推广: $y=e^{2x}-2e^x+1$ 配方为 $(e^x-1{)}^2$ 后反解，注意 $x⩾0$ 保证 $e^x-1⩾0$

方法推广: 求反函数三步：配方/反解、限制取值、互换 $x,y$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-四川文-02 单-对数型反函数
• 2008-重庆文-06 单-指数型反函数