2006-辽宁文-10 单-等腰三角形顶角正切

本题导读

本题考查同角三角函数关系，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 已知等腰 $△ABC$ 的腰为底的 $2$ 倍，则顶角 $A$ 的正切值是()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{15}}{8}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{15}}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设底边 $BC=a$，腰 $AB=AC=2a$，作顶角平分线 $AD$，则 $D$ 为 $BC$ 中点。
2. 在 $△ABD$ 中，$BD=\frac{a}{2}$，$AB=2a$，故 $\sin \frac{A}{2}=\frac{BD}{AB}=\frac{a/2}{2a}=\frac{1}{4}$。
3. $\cos \frac{A}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，$\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{15}}$。
4. $\tan A=\frac{2\tan \frac{A}{2}}{1-{\tan }^2\frac{A}{2}}=\frac{2/\sqrt{15}}{1-1/15}=\frac{\sqrt{15}}{7}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

设底边 $BC=a$，则腰 $AB=AC=2a$．作顶角平分线 $AD$，交 $BC$ 于 $D$， 则 $D$ 是 $BC$ 中点，$BD=\frac{a}{2}$，且 $AD\perp BC$． 在 $\mathrm{Rt}△ABD$ 中， $\sin \frac{A}{2}=\frac{BD}{AB}=\frac{a/2}{2a}=\frac{1}{4}$， 故 $\cos \frac{A}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$，$\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{15}}$． 由二倍角公式 $\tan A=\frac{2\tan \frac{A}{2}}{1-{\tan }^2\frac{A}{2}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{15}}}{1-\frac{1}{15}}=\frac{30}{14\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{7}$． 故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等腰三角形顶角正切

核心方法：半顶角三角函数过渡，二倍角正切公式

避坑指南：底 $a$、腰 $2a$，半顶角 $\sin \frac{A}{2}=\frac{1}{4}$，$\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{15}}$，再由 $\tan A=\frac{2\tan \frac{A}{2}}{1-{\tan }^2\frac{A}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{7}$；别直接用边比求错半角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等腰三角形顶角三角比，几何计算题

结论推广: 作顶角平分线（三线合一）构造直角三角形，用半角过渡再二倍角

方法推广: 等腰三角形顶角问题一律作底边中线，化归为直角三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 2008-广东文-16 解-三角化一给值求值
• 2009-北京文-09 填-同角三角求值