2006-辽宁文-09 单-向量平行解三角形

本题导读

本题考查向量的共线条件，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） $△ABC$ 的三内角 $A,B,C$ 所对边的长分别为 $a,b,c$，设向量 $\vec{p}=(a+c,b)$，$\vec{q}=(b-a,c-a)$，若 $\vec{p}\parallel \vec{q}$，则角 $C$ 的大小为()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{p}\parallel \vec{q}$，坐标对应成比例：$(a+c)(c-a)=b(b-a)$。
2. 展开 $ac-a^2+c^2-ac=b^2-ab$，即 $c^2-a^2=b^2-ab$，移项 $a^2+b^2-c^2=ab$。
3. 由余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$。
4. $C\in (0,\pi )$，故 $C=\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\vec{p}=(a+c,b)$ 与 $\vec{q}=(b-a,c-a)$ 平行，坐标对应成比例： $(a+c)(c-a)=b(b-a)$， 展开得 $c^2-a^2=b^2-ab$，移项 $a^2+b^2-c^2=ab$． 由余弦定理 $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$． 又 $C\in (0,\pi )$，故 $C=\frac{\pi }{3}$． 故选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量平行解三角形

核心方法：向量平行列坐标比例，余弦定理定角

避坑指南：$\vec{p}\parallel \vec{q}$ 得 $(a+c)(c-a)=b(b-a)$，化为 $a^2+b^2-c^2=ab$，$\cos C=\frac{1}{2}$，$C=\frac{\pi }{3}$；展开时符号别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 向量平行与解三角形结合，知识交汇题

结论推广: 向量平行 $⟺$ 坐标成比例，翻译成边的关系后用余弦定理求角

方法推广: 向量条件化为边的关系，是解三角形中处理向量题的通法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形