2006-辽宁文-07 单-双曲线渐近线围区域不等式

本题导读

本题考查线性规划，以及双曲线的渐近线。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 双曲线 $x^2-y^2=4$ 的两条渐近线与直线 $x=3$ 围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是()

A. $\{\begin{array}{l}x-y⩾0,\\ x+y⩾0,\\ 0⩽x⩽3\end{array}$　B. $\{\begin{array}{l}x-y⩾0,\\ x+y⩽0,\\ 0⩽x⩽3\end{array}$

C. $\{\begin{array}{l}x-y⩽0,\\ x+y⩽0,\\ 0⩽x⩽3\end{array}$　D. $\{\begin{array}{l}x-y⩽0,\\ x+y⩾3,\\ 0⩽x⩽3\end{array}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 双曲线 $x^2-y^2=4$ 的渐近线为 $x^2-y^2=0$，即 $y=\pm x$（即 $x-y=0$ 与 $x+y=0$）。
2. 两渐近线与直线 $x=3$ 围成三角形，含原点一侧（原点 $(0,0)$ 代入 $x=3$ 左侧 $0⩽3$）。
3. 区域在 $x⩾0$、$x-y⩾0$（$x$ 轴上方含 $y⩽x$）、$x+y⩾0$（$y⩾-x$）之间。
4. 故为 $x-y⩾0$、$x+y⩾0$、$0⩽x⩽3$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $x^2-y^2=4$ 的两条渐近线为 $x-y=0$ 与 $x+y=0$（即 $y=\pm x$）． 这两条渐近线与直线 $x=3$ 围成的三角形区域位于第一象限张开的角域内， 即同时满足 $x-y⩾0$、$x+y⩾0$（区域含 $y$ 轴正半轴一侧），且 $0⩽x⩽3$． 故不等式组为 $\{\begin{array}{l}x-y⩾0,\\ x+y⩾0,\\ 0⩽x⩽3\end{array}$． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线渐近线围区域不等式

核心方法：渐近线方程化线性不等式，区域边界定不等号方向

避坑指南：渐近线 $x^2-y^2=0$ 即 $y=\pm x$，与 $x=3$ 围成含原点一侧的角域，得 $x-y⩾0$、$x+y⩾0$、$0⩽x⩽3$；别把不等号方向取反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 双曲线渐近线与线性规划结合，区域综合题

结论推广: 渐近线是 $x^2-y^2=0$（两条过原点的直线），与铅直线 $x=3$ 围成角域

方法推广: 圆锥曲线渐近线围区域用不等式组表示，先定边界线再定不等号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 18.02 双曲线专题全总结
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2009-新课标Ⅰ文-06 单-线性规划开区域
• 2009-安徽卷文-03 单-线性规划区域面积