2006-辽宁文-05 单-方程根作圆锥曲线离心率

本题导读

本题考查圆锥曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2006年辽宁卷(文)） 方程 $2x^2-5x+2=0$ 的两个根可分别作为()

A. 一个椭圆和一双曲线的离心率　　　　　　B. 两抛物线的离心率

C. 一个椭圆和一抛物线的离心率　　　　　　D. 两椭圆的离心率

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解 $2x^2-5x+2=0$ 得 $(2x-1)(x-2)=0$，$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=2$。
2. 椭圆离心率 $e\in (0,1)$；双曲线离心率 $e>1$；抛物线离心率 $e=1$。
3. $\frac{1}{2}\in (0,1)$ 是椭圆离心率，$2>1$ 是双曲线离心率。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解方程 $2x^2-5x+2=0$，即 $(2x-1)(x-2)=0$，得 $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=2$． 椭圆离心率 $e\in (0,1)$，双曲线离心率 $e>1$，抛物线离心率 $e=1$． 故 $\frac{1}{2}$ 可作为椭圆离心率，$2$ 可作为双曲线离心率． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：方程根作圆锥曲线离心率

核心方法：解一元二次方程定根，离心率范围判定

避坑指南：两根 $\frac{1}{2}$ 与 $2$；椭圆 $e\in (0,1)$、双曲线 $e>1$、抛物线 $e=1$，故 $\frac{1}{2}$ 配椭圆、$2$ 配双曲线；别混淆三类曲线离心率范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 方程根与圆锥曲线离心率，概念辨析题

结论推广: 离心率范围：椭圆 $(0,1)$、双曲线 $(1,+\infty )$、抛物线 $=1$，由根的值判曲线类型

方法推广: 把”根作为离心率”的问题转化为离心率取值范围的分类

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-08 单-双曲线椭圆离心率
• 2008-大纲Ⅰ文-15 填-椭圆定义离心率