2006-福建卷理-21 解-函数零点与图象交点问题

本题导读

本题是一道经典的导数与函数综合压轴题。第一问考查二次函数在动区间上的最值问题，需要针对对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；第二问将两个图象的交点个数问题转化为方程根的个数，利用分离参数法构造新函数，通过导数研究其单调性与极值，从而确定参数的取值范围。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=-x^2+8x$，$g(x)=6\ln x+m$． （1）求 $f(x)$ 在区间 $[t,t+1]$ 上的最大值 $h(t)$； （2）是否存在实数 $m$，使得 $y=f(x)$ 的图象与 $y=g(x)$ 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：二次函数 $f(x)=-(x-4{)}^2+16$ 的对称轴为 $x=4$，开口向下。动区间 $[t,t+1]$ 的长度为 1。根据对称轴与区间的相对位置，分三种情况讨论：对称轴在区间右侧（$t+1<4$）、对称轴在区间内部（$t\le 4\le t+1$）、对称轴在区间左侧（$t>4$），分别写出最大值。 第（2）问：两图象有三个交点等价于方程 $-x^2+8x=6\ln x+m$ 在定义域 $(0,+\infty )$ 上有三个不同的实根。采用分离参数法，构造新函数 $F(x)=-x^2+8x-6\ln x$，问题转化为直线 $y=m$ 与函数 $y=F(x)$ 的图象有三个不同的交点。利用导数分析 $F(x)$ 的极值点与单调性即可。

✅【答案】

Success

函数 $f(x)$ 在区间 $[t,t+1]$ 上的最大值 $h(t)$ 的解析式为：$h(t)=\{\begin{array}{ll}-t^2+6t+7,& t<3\\ 16,& 3\le t\le 4\\ -t^2+8t,& t>4\end{array}$令 $

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $f(x)$ 在区间 $[t,t+1]$ 上的最大值 $h(t)$

函数 $f(x)=-x^2+8x=-(x-4{)}^2+16$，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 $x=4$． 根据对称轴与闭区间 $[t,t+1]$ 的相对位置，进行分类讨论：

1. 当 $t+1<4$ 即 $t<3$ 时，对称轴在区间的右侧，函数 $f(x)$ 在 $[t,t+1]$ 上单调递增， 最大值在右端点处取得： $h(t)=f(t+1)=-(t+1{)}^2+8(t+1)=-t^2+6t+7$
2. 当 $t\le 4\le t+1$ 即 $3\le t\le 4$ 时，对称轴在区间内部，函数 $f(x)$ 在 $x=4$ 处取得最大值： $h(t)=f(4)=16$
3. 当 $t>4$ 时，对称轴在区间的左侧，函数 $f(x)$ 在 $[t,t+1]$ 上单调递减， 最大值在左端点处取得： $h(t)=f(t)=-t^2+8t$

综上所述，函数 $f(x)$ 在区间 $[t,t+1]$ 上的最大值 $h(t)$ 的解析式为：

-t^2 + 6t + 7, & t < 3 \\ 16, & 3 \le t \le 4 \\ -t^2 + 8t, & t > 4 \end{cases}$$ #### （2）探讨交点个数与实数 $m$ 的取值范围 令 $f(x) = g(x)$，即 $-x^2 + 8x = 6\ln x + m$． 由于 $\ln x$ 的定义域限制，该方程的自变量必须满足 $x > 0$． 分离参数 $m$ 得： $$m = -x^2 + 8x - 6\ln x$$ 构造辅助函数 $F(x) = -x^2 + 8x - 6\ln x \quad (x > 0)$． 原两函数图象有且只有三个不同的交点，等价于直线 $y = m$ 与函数 $y = F(x)$ 的图象有且只有三个不同的交点． 对 $F(x)$ 求导： $$F'(x) = -2x + 8 - \frac{6}{x} = \frac{-2x^2 + 8x - 6}{x} = \frac{-2(x-1)(x-3)}{x}$$ 令 $F'(x) = 0$，解得两个驻点： $x_1 = 1, x_2 = 3$． 由于 $x > 0$，列表分析 $F(x)$ 的单调性与极值情况： | $x$ | $(0, 1)$ | $1$ | $(1, 3)$ | $3$ | $(3, +\infty)$ | | :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $F'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | | $F(x)$ | ↘ 单调递减 | 极小值 | ↗ 单调递增 | 极大值 | ↘ 单调递减 | 计算对应的极值： * 极小值 $F(1) = -1^2 + 8 \times 1 - 6\ln 1 = 7$ * 极大值 $F(3) = -3^2 + 8 \times 3 - 6\ln 3 = 15 - 6\ln 3$ 分析边界处的无限趋势： * 当 $x \to 0^+$ 时，$-x^2+8x \to 0$， $-6\ln x \to +\infty$，所以 $F(x) \to +\infty$； * 当 $x \to +\infty$ 时，多项式 $-x^2$ 的降低速度远快于 $\ln x$，所以 $F(x) \to -\infty$． 由此可知，函数 $F(x)$ 的图象先从正无穷单调下降到极小值点 $(1, 7)$，再单调上升到极大值点 $(3, 15-6\ln 3)$，最后单调下降到负无穷． 要使水平直线 $y = m$ 与 $F(x)$ 的图象有且只有三个不同的交点，直线 $y = m$ 必须严格介于极小值与极大值之间： $$F(1) < m < F(3) \implies 7 < m < 15 - 6\ln 3$$ （注：因 $3 < e^{4/3} \implies 6\ln 3 < 8 \implies 15 - 6\ln 3 > 7$，区间合理） 因此，存在实数 $m$ 满足题意，其取值范围是 $(7, 15 - 6\ln 3)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二次函数轴动区间定最值讨论；利用导数工具分析超越函数极值与单调性；分离参数法解零点个数问题。
• 核心方法：分离参数法．将含有未知常数的方程转化为定函数与动水平直线的相交问题，能极大简化复杂的方程讨论。
• 避坑指南：在第（2）问中，求出单调性后，必须进行端点或边界趋势（如 $x\to 0^{+}$ 和 $x\to +\infty$）的说明，以确保极小值左侧、极大值右侧图象能够无限延伸并能与直线交出 3 个点。若缺失边界说明会扣除严谨性分数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题源于二次函数在动区间上的最值（分类讨论）与方程根的个数的融合，是”函数图象交点个数”问题的经典范式，考查数形结合与导数工具。

结论推广：一般地，$f(x)=a{x}^2+bx+c$ 在 $[t,t+1]$ 上的最值需按对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$ 与区间的三种位置关系分类，得 $h(t)$ 为分段函数。

方法推广：图象交点个数问题常转化为 $F(x)=f(x)-g(x)$ 的零点个数，通过求导分析单调性、极值，结合端点趋势画出草图，由极值符号确定参数范围。

背景点明：本题体现”分类讨论+数形结合”核心思想，可推广为 $f(x)-g(x)=0$ 恰有 $k$ 个根时求参数，关键是抓住极值点与图象走势。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2007-广东文-21 解-含参二次函数区间零点
• 2009-广东卷文-21 解-二次函数零点
• 2012-江苏卷-18 解-三次函数极值点与零点