2006-福建卷理-20 解-向量的数量积运算

本题导读

本题考查椭圆的方程求解及直线与椭圆的综合位置关系。第一问通过长轴长度与离心率建立方程组求出椭圆方程；第二问利用直线与椭圆联立，结合韦达定理将向量数量积转化为交点横坐标的关系式进行求解。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的长轴长为 $4$，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$． （1）求椭圆 $C$ 的方程； （2）设直线 $l:y=kx+m(m\ne 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$（$O$ 为坐标原点）．证明：点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为定值，并求出这个定值．

🔍【思路分析】

破题导航

第（1）问：由长轴长为 4 得 $2a=4⟹a=2$．由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 算得 $c$，再由 $b^2=a^2-c^2$ 求出 $b^2$，确定标准方程． 第（2）问：

• 联立直线 $l$ 与椭圆方程，消去 $y$ 得到关于 $x$ 的一元二次方程，利用韦达定理写出 $x_1+x_2$ 和 $x_1{x}_2$．
• 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 转化为 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$．将 $y=kx+m$ 代入转化，建立 $k$ 与 $m$ 的代数关系．
• 点 $O$ 到直线 $kx-y+m=0$ 的距离公式为 $d=\frac{|m|}{\sqrt{k^2+1}}$，代入 $k,m$ 的关系式证其为定值．

✅【答案】

Success

（1）$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ （2）点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为定值 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求椭圆 $C$ 的方程

由题意，椭圆的长轴长为 $4$，得： $2a=4⟹a=2$

又离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得： $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹c=2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

根据椭圆中 $a^2,b^2,c^2$ 的关系： $b^2=a^2-c^2=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2$

所以，椭圆 $C$ 的方程为： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$

（2）证明：点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为定值

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$． 联立直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的方程：

y = kx + m \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1 \end{cases} \implies x^2 + 2(kx + m)^2 = 4$$ 展开并整理得关于 $x$ 的一元二次方程： $$(1 + 2k^2)x^2 + 4kmx + 2m^2 - 4 = 0$$ 由韦达定理得： $$x_1 + x_2 = -\frac{4km}{1 + 2k^2}, \quad x_1x_2 = \frac{2m^2 - 4}{1 + 2k^2}$$ 因为 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$，所以 $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$． 将 $y_1 = kx_1 + m, y_2 = kx_2 + m$ 代入得： $$x_1x_2 + (kx_1 + m)(kx_2 + m) = 0$$ $$(1 + k^2)x_1x_2 + km(x_1 + x_2) + m^2 = 0$$ 将韦达定理代入上式： $$(1 + k^2) \cdot \frac{2m^2 - 4}{1 + 2k^2} + km \cdot \left(-\frac{4km}{1 + 2k^2}\right) + m^2 = 0$$ 两边同乘以 $1 + 2k^2$（因 $1+2k^2 \neq 0$）： $$(1 + k^2)(2m^2 - 4) - 4k^2m^2 + m^2(1 + 2k^2) = 0$$ $$2m^2 - 4 + 2k^2m^2 - 4k^2 - 4k^2m^2 + m^2 + 2k^2m^2 = 0$$ 合并同类项化简得： $$3m^2 - 4k^2 - 4 = 0 \implies 3m^2 = 4(k^2 + 1)$$ 点 $O(0,0)$ 到直线 $l: kx - y + m = 0$ 的距离 $d$ 为： $$d = \frac{|m|}{\sqrt{k^2 + 1}}$$ 将 $k^2 + 1 = \frac{3}{4}m^2$ 代入上式： $$d = \frac{|m|}{\sqrt{\frac{3}{4}m^2}} = \frac{|m|}{\frac{\sqrt{3}}{2}|m|} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 因为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 为常数，且与 $k, m$ 无关， 所以点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为定值，该定值为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆几何性质与方程结构；直线与圆锥曲线联立后的根与系数关系（韦达定理）；向量垂直的代数表达。
• 核心方法：整体代换法．在化简 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 的代数式时，直接寻找 $m^2$ 与 $k^2+1$ 的比例关系，避免单独解出 $k$ 或 $m$．
• 避坑指南：联立后通常需验证判别式 $\Delta >0$．本题中由 $3m^2=4(k^2+1)$ 可推出 $2m^2-4=2\cdot \frac{4(k^2+1)}{3}-4=\frac{8k^2-4}{3}$，代入 $\Delta =16k^2{m}^2-4(1+2k^2)(2m^2-4)$ 恒大于 0（或由于定值距离小于短半轴长 $\sqrt{2}$ 确保必然相交），在大题叙述中若提一句“由题意直线与椭圆交于两点可知 $\Delta >0$ 恒成立”则更严谨．

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题为经典的圆锥曲线“定值、定点”探究题，考查解析几何核心的代数计算与转化能力，属于人教A版选择性必修第一册第三章圆锥曲线大题的常规压轴结构。 结论推广：对于已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若过原点的两弦 $OA\perp OB$，则存在定圆与所有满足条件的切线（或割线）相切，原点到该直线的距离 $d$ 恒满足 $\frac{1}{d^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$．代入本题可得 $\frac{1}{d^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}⟹d=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，可用此结论直接秒杀填空压轴题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2008-辽宁文-21 解-椭圆轨迹与向量垂直
• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量