2006-福建卷理-19 解-导数在最大值与最小值问题中的应用

本题导读

本题考查导数在实际优化问题中的应用。核心考查利用物理量之间的基本关系（时间 = 距离 / 速度）建立总耗油量关于速度的函数模型，并通过求导数来确定函数的极值与最值。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 $y$（升）关于行驶速度 $x$（千米/小时）的函数解析式可以表示为：$y=\frac{1}{128000}{x}^3-\frac{3}{80}x+8(0<x\le 120)$．已知甲、乙两地相距 100 千米． （1）当汽车以 40 千米/小时的位置匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

🔍【思路分析】

破题导航

理清物理数量关系：总耗油量 = 每小时耗油量 $\times$ 行驶时间。行驶时间 $t=\frac{\text{距离}}{\text{速度}}=\frac{100}{x}$。 求解第（1）问：直接计算 $x=40$ 时的行驶时间 $t$，以及每小时耗油量 $y(40)$，两者相乘即得总耗油量。 求解第（2）问：建立总耗油量关于 $x$ 的函数关系式 $S(x)=y\cdot \frac{100}{x}$。对函数 $S(x)$ 进行求导，令 $S^{\prime }(x)=0$ 寻找驻点，列表或通过导数正负符号判定单调性，进而确定最值点。

✅【答案】

Success

（1）当汽车以40千米/小时的速度行驶时，每小时耗油量为y=403128000−3

✍【详细解析】

Abstract

设从甲地到乙地行驶时间为 $t$ 小时，总耗油量为 $S$ 升。 由题意得，行驶时间 $t=\frac{100}{x}$。 则总耗油量关于速度 $x$ 的函数关系式为： $S(x)=y\cdot t=\left(\frac{1}{128000}{x}^3-\frac{3}{80}x+8\right)\cdot \frac{100}{x}=\frac{1}{1280}{x}^2-\frac{15}{4}+\frac{800}{x}(0<x\le 120)$

（1）求 $x=40$ 时的总耗油量

将 $x=40$ 直接代入总耗油量函数式 $S(x)$ 中： $S(40)=\frac{1}{1280}\times 40^2-\frac{15}{4}+\frac{800}{40}$ $=\frac{1600}{1280}-\frac{15}{4}+20=\frac{5}{4}-\frac{15}{4}+20=-2.5+20=17.5$

（2）求总耗油量最少时的速度及最少油量

对总耗油量函数 $S(x)$ 求导： $S^{\prime }(x)={\left(\frac{1}{1280}{x}^2-\frac{15}{4}+\frac{800}{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{640}x-\frac{800}{x^2}=\frac{x^3-512000}{640x^2}$

令 $S^{\prime }(x)=0$，得： $x^3-512000=0⟹x^3=512000⟹x=80$

因为 $x\in (0,120]$，分析 $S^{\prime }(x)$ 的符号确定单调性：

• 当 $0<x<80$ 时，$x^3<512000$，则 $S^{\prime }(x)<0$，函数 $S(x)$ 在 $(0,80)$ 上单调递减；
• 当 $80<x\le 120$ 时，$x^3>512000$，则 $S^{\prime }(x)>0$，函数 $S(x)$ 在 $(80,120]$ 上单调递增．

所以，当 $x=80$ 时，函数 $S(x)$ 取得极小值，也是区间 $(0,120]$ 上的最小值． 将 $x=80$ 代入解析式求最小值： $S(80)=\frac{1}{1280}\times 80^2-\frac{15}{4}+\frac{800}{80}=\frac{6400}{1280}-\frac{15}{4}+10=5-3.75+10=11.25$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：实际应用题的函数建模；利用导数求实际应用问题中的最值。
• 核心方法：导数运算法则（特殊注意 ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$）及利用导数正负号判定函数单调性的通法。
• 避坑指南：
• 极易将每小时耗油量 $y$ 直接当成总耗油量进行求导计算。务必审清“每小时耗油”与“全程总耗油”的区别，先乘以时间 $t=\frac{100}{x}$ 建立正确的总总量模型。
• 求出导数零点 $x=80$ 后，大题步骤中必须有对单调性的文字叙述或列表说明，直接断定其为最值点会酌情扣除步骤分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查微积分基本工具在生活决策优化中的价值，直接对应人教A版选择性必修第二册第五章导数及其应用中的“实际问题中的最大（小）值问题”例题。 结论推广：此类经济、生活优化模型通常可转化为 $f(x)=a{x}^2+\frac{b}{x}+c$ 形式。对该形式求导恒有 $f^{\prime }(x)=2ax-\frac{b}{x^2}=\frac{2a{x}^3-b}{x^2}$，其最值点永远在 $x=\sqrt[3]{\frac{b}{2a}}$ 处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-19 解-利用导数求函数最值
• 2007-辽宁卷理-19 解-利用导数研究函数最值
• 2011-山东卷文-21 解-导数实际最值