本题导读
本题是一道结合几何变换与极限思想的创新填空压轴题。核心在于探究三角形在中点变换下的不变量属性。通过发现多级中点三角形的重心空间位置始终保持不变这一关键性质，将无限逼近的极限问题转化为简单的静止几何点求值问题。
📌【题干】
Question
（2006年福建卷(理)） 如图，连结 的各边中点得到一个新的 ，又连结 的各边中点得到一个新的 ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：，这一系列三角形趋向于一个点 ．已知 ，则点 的坐标是．
🔍【思路分析】
破题导航
寻找几何不变量：分析大三角形 与其内部由各边中点组成的第一代中点三角形 的几何关系。可以证明，原三角形的重心与它的中点三角形的重心完全重合。 递推与极限判定：由于每一次嵌套中点三角形的操作都不改变重心的坐标，因此这一系列无限缩小的三角形套组拥有共同的重心。 求解目标点：当三角形无限缩小趋向于一个点 时，这个极限点 必然就是该系列三角形永恒不变的共同重心。直接利用已知三顶点坐标代入重心坐标公式求解即可。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
设任意三角形的三个顶点坐标分别为 ，则该三角形的重心 坐标公式为：
根据题意， 分别是 的边 的中点（依据图示对应关系）：
现在计算中点三角形 的重心 的横坐标 ：
同理可得，纵坐标 。 由此可证：原三角形的重心与其中点三角形的重心完全重合。
以此类推，无限嵌套下去的所有三角形 的重心全部重合。 当这一系列三角形无限缩小并收敛趋向于一个点 时，该点 即为它们的共同重心 。
将已知顶点 代入公式计算点 的坐标：
所以，点 的坐标为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：三角形中点三角形的几何性质；空间不变量思想；三角形重心坐标公式：。
- 核心方法：性质代换法（不变量法）。避开逐层计算中点坐标以及无限求和的繁琐极限步骤，直接从宏观几何特征切入。
- 避坑指南：若未发现“重心重合”这一隐藏性质，常规做法是依靠中点公式强行计算 的坐标，利用等比数列无限项求和公式（级数求和）来算极限。这种方法计算量极大，在填空题中极易由于步骤过多、耗时过长导致算错。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题将仿射几何中的“重心不变量”与高等数学中的“闭区间套定理（二维情况下的仿射收敛）”融合，是高观点下设计的高考创新题。 结论推广：
- 对于平面上的任意 边形，若顺次连结各边中点得到新 边形并无限循环，最终收敛的极限点均为原多边形的几何中心（或向量意义上的重心）。
- 在空间三维直角坐标系中，若对四面体（三棱锥）的各棱中点或各面形心进行相似的无限嵌套收敛操作，最终趋向的极限点同样是原四面体的重心，坐标公式为 。
🔗【关联脉络】
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