2006-福建卷理-13 填-二项展开式的通项公式

本题导读

本题考查二项式定理的基础应用。通过求展开式中指定项的系数，检测学生对二项展开式通项公式的记忆以及指数幂运算的准确度。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^5$ 展开式中 $x^4$ 的系数是$\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 列出第 $r+1$ 项的表达式。 化简并分离变量：将含有自变量 $x$ 的项进行同底数幂乘除运算，合并为一个单独的 $x$ 幂指数形式。 求定参数并计算：令 $x$ 的指数等于 4，解出 $r$ 的值，再代入系数部分算出最终数值。

✅【答案】

Success

$10$

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，设展开式的通项为第 $r+1$ 项： $T_{r+1}=C_5^r\cdot (x^2{)}^{5-r}\cdot {\left(-\frac{1}{x}\right)}^r$

其中 $r\in \{0,1,2,3,4,5\}$。将负号及自变量 $x$ 的指数进行合并化简： $T_{r+1}=C_5^r\cdot x^{10-2r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=(-1{)}^r\cdot C_5^r\cdot x^{10-3r}$

要求展开式中 $x^4$ 的系数，令 $x$ 的指数为 4： $10-3r=4⟹3r=6⟹r=2$

将 $r=2$ 代入系数部分： $\text{系数}=(-1{)}^2\cdot C_5^2=1\times \frac{5\times 4}{2\times 1}=10$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式展开通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$；幂的运算法则 $(x^m{)}^n=x^{mn}$ 及 $x^m\cdot x^n=x^{m+n}$。
• 核心方法：通项公式法。通过将未知数 $r$ 转化为一元一次方程求解。
• 避坑指南：在写通项时，极易漏掉 $\left(-\frac{1}{x}\right)$ 中的负号。如果将负号漏掉，虽然本题由于 $r=2$ 为偶数不影响最终正负符号，但在 $r$ 为奇数时会导致符号错误。养成将 $(-1{)}^r$ 率先分离到最前面的好习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题属于二项式定理的A级基础常规题，直接取材于人教A版选择性必修第三册第六章的课后基础练习题。 结论推广：对于形如 ${\left(A{x}^a+B{x}^b\right)}^n$ 的二项展开式，其通项的 $x$ 指数为 $a(n-r)+br=an-(a-b)r$。若求常数项，则令该指数为 0 求解 $r$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2007-大纲Ⅱ文-16 填-二项式常数项
• 2007-天津卷理-11 填-二项展开式通项公式
• 2007-安徽卷理-12 填-二项展开式通项公式