2006-福建卷理-12 单-构造反例法

本题导读

本题是一道新定义数学题，所定义的“距离”在高等数学中被称为“曼哈顿距离”（或出租车几何学）。题目通过改变传统欧氏距离的度量方式，考查学生对绝对值不等式的代数运算能力以及通过构造特例进行命题证伪的逻辑思辨能力。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 对于直角坐标平面内的任意两点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，定义它们之间的一种“距离”：$\Vert AB\Vert =|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$。给出下列三个命题： ① 若点 $C$ 在线段 $AB$ 上，则 $\Vert AC\Vert +\Vert CB\Vert =\Vert AB\Vert$; ② 在 $\Delta ABC$ 中，若 $\angle C=90^{\circ }$，则 $\Vert AC{\Vert }^2+\Vert CB{\Vert }^2=\Vert AB{\Vert }^2$; ③ 在 $\Delta ABC$ 中， $\Vert AC\Vert +\Vert CB\Vert >\Vert AB\Vert$. 其中真命题的个数为()

注：选项中给出了 (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4。原题选项个数印错（有4个选项但最大数为4），应分别代表真命题个数。

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

分析命题 ①：设 $C(x_3,y_3)$。当 $C$ 在线段 $AB$ 上时，其横、纵坐标分别介于 $A,B$ 的横、纵坐标之间，利用绝对值的性质去绝对值符号进行化简验证。 分析命题 ②：寻找反例。构造一个直角三角形（如两直角边平行于坐标轴或倾斜放置），代入新定义的距离公式，检验勾股定理是否依然成立。 分析命题 ③：利用绝对值三角不等式 $|a|+|b|\ge |a+b|$ 进行性质验证，注意探讨“等于”的条件是否会在非三点共线（组成三角形）时成立。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

对命题 ① 分析： 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$。 因为点 $C$ 在线段 $AB$ 上，根据线段的内分点性质， $C$ 的横纵坐标必分别介于 $A$ 和 $B$ 的两端点之间（含端点）。 即 $(x_3-x_1)(x_2-x_3)\ge 0$ 且 $(y_3-y_1)(y_2-y_3)\ge 0$。 根据绝对值的性质，有： $|x_2-x_1|=|x_2-x_3+x_3-x_1|=|x_3-x_1|+|x_2-x_3|$ $|y_2-y_1|=|y_2-y_3+y_3-y_1|=|y_3-y_1|+|y_2-y_3|$ 因此： $\Vert AC\Vert +\Vert CB\Vert =(|x_3-x_1|+|y_3-y_1|)+(|x_2-x_3|+|y_2-y_3|)$ $=(|x_3-x_1|+|x_2-x_3|)+(|y_3-y_1|+|y_2-y_3|)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|=\Vert AB\Vert$ 故命题 ① 为真命题。

对命题 ② 分析： 构造特例：令 $A(0,1),C(0,0),B(1,0)$。 显然在 $\Delta ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$。 按照新定义计算距离： $\Vert AC\Vert =|0-0|+|0-1|=1⟹\Vert AC{\Vert }^2=1$ $\Vert CB\Vert =|1-0|+|0-0|=1⟹\Vert CB{\Vert }^2=1$ $\Vert AB\Vert =|1-0|+|0-1|=1+1=2⟹\Vert AB{\Vert }^2=4$ 此时 $\Vert AC{\Vert }^2+\Vert CB{\Vert }^2=1+1=2\ne 4=\Vert AB{\Vert }^2$。 故命题 ② 为假命题。

对命题 ③ 分析： 构造特例：令 $A(0,1),C(1,1),B(1,0)$。 此时 $A,B,C$ 三点不共线，能构成 $\Delta ABC$。 按照新定义计算距离： $\Vert AC\Vert =|1-0|+|1-1|=1$ $\Vert CB\Vert =|1-1|+|0-1|=1$ $\Vert AB\Vert =|1-0|+|0-1|=1+1=2$ 此时 $\Vert AC\Vert +\Vert CB\Vert =1+1=2=\Vert AB\Vert$，并不满足严格的大于关系。 故命题 ③ 为假命题。

综上所述，真命题只有 ①，共 1 个。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：新定义运算；绝对值不等式的拆分与组合；用反例推翻错误命题。
• 核心方法：对于抽象的新定义命题判定，代数证明用于确定真命题，特殊值反例法用于快速剔除假命题。
• 避坑指南：容易受到传统欧氏几何思维的定势思维干扰。
• 误以为“直角三角形”就一定满足“勾股定理”从而认定 ② 正确。
• 误以为“只要组成三角形，两边之和就一定大于第三边”从而认定 ③ 正确。必须严格代入新公式计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题背景为近代几何学中的曼哈顿距离（Manhattan Distance）。在曼哈顿街区中，两点之间的距离不是直线距离（欧氏距离），而是沿着平行于坐标轴的网格延伸的折线距离总和。 结论推广：在曼哈顿距离空间中，两边之和大于或等于第三边（即三角形不等式 $\Vert AC\Vert +\Vert CB\Vert \ge \Vert AB\Vert$ 依然成立）。而两边之和等于第三边的几何图形不再是一条线段，而是一个以 $A,B$ 为对角顶点的矩形区域。这也是命题 ③ 在组成三角形时仍能取到等号的根本原因。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2007-湖南文-10 单-二元子集比值新定义
• 2009-山东卷文-05 单-新定义运算
• 2009-新课标Ⅰ文-12 单-min新定义最值