2006-福建卷理-11 单-向量的坐标表示与运算

本题导读

本题考查平面向量的线性组合与数量积。核心在于利用已知向量的垂直关系及模长建立直角坐标系，将几何问题转化为代数坐标运算，从而快速准确地求出组合系数的比值。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 已知 $|\overrightarrow{OA}|=1$，$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，点 $C$ 在 $\angle AOB$ 内，且 $\angle AOC=30^{\circ }$。设 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}(m,n\in \mathbf{R})$，则 $\frac{m}{n}$ 等于()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

建立直角坐标系：由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 可知 $OA\perp OB$。以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OA}$ 方向为 $x$ 轴正方向，$\overrightarrow{OB}$ 方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系。 写出各向量坐标：根据模长写出 $A,B$ 的坐标；利用三角函数及 $\angle AOC=30^{\circ }$ 写出 $C$ 的坐标方向。 坐标代入求比值：将坐标代入线性关系式 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，通过分量相等列出方程组，直接求出 $\frac{m}{n}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，所以 $OA\perp OB$。 以 $O$ 为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$ 所在直线为 $x$ 轴，$\overrightarrow{OB}$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。

由已知条件 $|\overrightarrow{OA}|=1$，$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{3}$ 可得： $\overrightarrow{OA}=(1,0),\overrightarrow{OB}=(0,\sqrt{3})$

设 $|\overrightarrow{OC}|=r(r>0)$。因为点 $C$ 在 $\angle AOB$ 内，且 $\angle AOC=30^{\circ }$，即 $\overrightarrow{OC}$ 与 $x$ 轴正方向的夹角为 $30^{\circ }$。 根据任意角三角函数的定义，点 $C$ 的坐标可以表示为： $\overrightarrow{OC}=(r\cos 30^{\circ },r\sin 30^{\circ })=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}r,\frac{1}{2}r\right)$

又因为 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，将其写为坐标形式： $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}r,\frac{1}{2}r\right)=m(1,0)+n(0,\sqrt{3})=(m,\sqrt{3}n)$

根据向量相等的充要条件，对应分量相等，得方程组：

m = \frac{\sqrt{3}}{2}r \\ \sqrt{3}n = \frac{1}{2}r \end{cases}$$ 由第二式可得 $n = \frac{1}{2\sqrt{3}}r = \frac{\sqrt{3}}{6}r$。 因此，比值 $\frac{m}{n}$ 为： $$\frac{m}{n} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}r}{\frac{\sqrt{3}}{6}r} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = 3$$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量的坐标运算法则；直角坐标系的建系技巧（当已知两向量垂直且模长明确时，建系法通常是最简便的通法）。
• 核心方法：坐标化方法。将复杂的几何张角关系转化为坐标投影轴的分量求解。
• 避坑指南：在求出 $n$ 的过程中，容易因笔误忽略了 $\sqrt{3}n$ 中的 $\sqrt{3}$ 从而错把 $n$ 算成 $\frac{1}{2}r$，导致算出 $\frac{m}{n}=\sqrt{3}$ 而误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题主要考查非零向量的斜交分解性质，属于高考中对平面向量基本定理考查的常规中档小题，直接来源于人教A版选择性必修第一册平面向量应用中的基底分解思想。 结论推广：若 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，且 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，设 $\overrightarrow{OC}$ 与 $\overrightarrow{OA}$ 的夹角为 $\alpha$，则有： $\tan \alpha =\frac{|\overrightarrow{OB}|\cdot n}{|\overrightarrow{OA}|\cdot m}$ 代入本题数据 $\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}\cdot n}{1\cdot m}⟹\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}n}{m}⟹\frac{m}{n}=3$。利用此推广结论可以实现一秒秒杀。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-04 单-向量中点特征恒等式
• 2007-大纲卷I理-03 单-向量垂直坐标判定