本题导读
本题考查正弦型函数在闭区间上的性质。核心在于利用整体代换思想，将自变量的取值范围转化为正弦函数的相角范围，进而结合正弦函数取得最小值的充要条件求解参数的取值范围。
📌【题干】
Question
（2006年福建卷(理)） 已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
求相角的取值范围：由 且 ，求得整体相角 的取值范围。 确定取得最小值的条件：由于 的振幅为 2，最小值为 ，说明正弦部分 必须能够取得 。 建立关于 的不等式：根据正弦函数图象，在 的左侧区间内必须包含能让正弦函数值为 的点（最靠近原点的负极值点为 ），以此列出不等式求解。
✅【答案】
Success
B
✍【详细解析】
Abstract
因为 且 ， 所以整体相角 的取值范围为：
要使函数 在该区间上的最小值是 ， 则相角 的取值区间必须包含能使正弦函数取得 的点。
因为 ，在靠近原点的区间内，使 的点为：
显然，当区间向两侧扩大时，负半轴首先遇到的极小值点为 。 因此，区间左端点 必须达到或跨过 ，即：
两边同乘以 （注意不等号方向改变）：
所以， 的最小值为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：正弦函数 在 处取得最小值 ；整体代换思想在三角函数区间问题中的应用。
- 核心方法：将 视为一个整体，通过分析整体区间的边界来确定极值点是否被包含。
- 避坑指南：
- 容易错将关注点放在右边界 上。由于 ，右边界对应的点在第一、二象限，无法提供负的极值；只有左边界向负方向延伸时才能率先触及 的点（即 ）。
- 注意不等式求解过程中的正负号与不等号的方向变换。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题属于高考关于三角函数性质考查的经典中档题，重点考查对三角函数周期性和单调性的深刻理解，源自教材中关于“ 对函数图象伸缩变换影响”的探究课题。 结论推广：对于函数 在区间 上能取得最值的问题，通用方法均为：先求出整体相角 ，再结合正弦曲线的标准最值点（如 或 ）建立关于 的不等式组求解。
🔗【关联脉络】
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