2006-福建卷理-08 单-函数的值域与定义域的关系

本题导读

本题考查反函数的求解方法。核心在于掌握求反函数的标准步骤：由原函数解析式反解出自变量，进行 $x,y$ 互换，并求出原函数的值域作为反函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2006年福建卷(理)） 函数 $y={\log }_2\frac{x}{x-1}(x>1)$ 的反函数是()

A. $y=\frac{2^x}{2^x-1}(x>0)$　　　　　　　B. $y=\frac{2^x}{2^x-1}(x<0)$

C. $y=\frac{2^x-1}{2^x}(x>0)$　　　　　　　D. $y=\frac{2^x-1}{2^x}(x<0)$

🔍【思路分析】

破题导航

求原函数的值域（即反函数的定义域）：分析 $x>1$ 时，真数部分 $\frac{x}{x-1}$ 的取值范围，进而确定 $y$ 的取值范围。 反解自变量 $x$：利用对数与指数的互化性质，将 $y={\log }_2\frac{x}{x-1}$ 变形，用 $y$ 的代数式表示 $x$。 互换变量：将 $x$ 与 $y$ 对调，并附带上第一步求得的定义域。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为原函数中 $x>1$，对于真数部分进行变形： $\frac{x}{x-1}=\frac{(x-1)+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$ 由于 $x>1⟹x-1>0⟹\frac{1}{x-1}>0$， 所以 $\frac{x}{x-1}>1$。 根据对数函数的单调性，当真数大于 1 时： $y={\log }_2\frac{x}{x-1}>{\log }_{2}1=0$ 即原函数的值域为 $(0,+\infty )$，因此反函数的定义域为 $x>0$（排除 B、D）。

由 $y={\log }_2\frac{x}{x-1}$，根据对数定义转化为指数式： $2^y=\frac{x}{x-1}$ 两边同乘以 $x-1$ 得： $2^y(x-1)=x⟹2^y\cdot x-2^y=x$ 移项提公因式： $(2^y-1)x=2^y⟹x=\frac{2^y}{2^y-1}$

对调 $x,y$，并将原函数的值域作为反函数的定义域，得反函数为： $y=\frac{2^x}{2^x-1}(x>0)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：反函数的解法；对数式与指数式的互化 $y={\log }_{a}X⟺a^y=X$；原函数的值域即为其反函数的定义域。
• 核心方法：反解变量法，配合函数值域的精准判定。
• 避坑指南：求反函数时切记要写出定义域。本题若不先求原函数的值域，在算出了解析式 $\frac{2^x}{2^x-1}$ 后，仍会在 A 和 B 之间难以抉择。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查了基本初等函数（对数函数与有理分式函数复合）的反函数求解，源自教材中关于反函数定义的经典提高题。 结论推广：函数 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 的反函数具有对称结构，其解析式为 $y=\frac{-dx+b}{cx-a}$。通过将本题变形为 $2^y=\frac{1\cdot x+0}{1\cdot x-1}$，利用此公式可直接一眼看出 $x=\frac{-(-1)\cdot 2^y+0}{1\cdot 2^y-1}=\frac{2^y}{2^y-1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2007-北京文-02 单-反函数定义域
• 2007-北京卷理-02 单-反函数定义域值域映射关系
• 2007-天津文-05 单-对数型反函数